Mouvement d'un point matériel pesant sur une

surface de révolution dont Taxe est vertical. — Prenons l'axe de îévolution pouiaxe des r, et .supposons-le vertical et dirigé vers le haut; soient a;, î/,z les coordonnées du mobile; au lieu de X et y nous prendrons les coordonnées polaires r et 0, de ma- — j;. nière que 2, r et 0 seront les coordonnées du mobile ; l'équation de

Fi<j . \U

la surface de lévolulion sera :

A la pesanteur m{/, il faudra joiudi'e la réaction normale de la surface, la(|Tielle sera située dans le plan méridien et rencontrera Oz; la résultante des deux forces qui agissent sur le mobile rencontrera cet axe, et le principe des aires aura lieu pour la projection sur le plan xOy; le principe des forces vives a lieu aussi ; on aura donc :

t?' — vj" = ig {z, — z), dô dt

On a :

dx^ 4- dy^ -f- d

' mi

mais :

dx^ + dtf = dr^ + r* rfO-, , rfr' + r* dO* 4- dz-

dt*

et en remplaçant dz par f (r) dr :

^dr^\ l + /-'«(r)( 4-r'rfô\

dt*

si Ton met au lieu de dt sa valeur r* — ? il vient :

f* = c» — ' —^-^^ = t'.' + igz, - ig f{r),

et en résolvant par rapport à d 0 :

de----' *"/'"('■)

ou, en intégrant :

(A) e — e.= ±r/ -1/— — — - — i—Li

,.. . igz,-2gf{r)\-/ On aura donc l'éiiualion de la projection de la trajectoire par

jjESPEïROi'S. — Mécanique. II. • 5

pb COURS DE MÉCANIQUE.

une quadrature ; ou aura ensuite :

, (la

et eu reniplaranl ild ])\iv sa valeur ci-dessus :

y r' V,' ^ Hijz, - Ifj f(r) [ - c'

en désignant par i\y l'o, -o 6*^ ^« l^s valeurs initiales de r, v, z et 0.

Il nous reste à déterminer la constante c, à Taide des conditions initiales.

Désignons en général par a J 'angle que fait la vitesse au point M avec la tangente au parallèle en ce point ; soient M' un point infiniment voisin de M, M'N le méridien du point M', qui rencontie en N le méridien du point M; on a :

d'où :

MN rd^

t? COS a = —rr =

dt r^d^' donc :

(1) c = r t; cos a.

En appliquant cette équation générale à l'instant initial, on aura :

ao est Tune des données : c'est Tangle que fait la vitesse initiale avec la tangente au parallèle du point de départ.

Reste enfin à fixer le signe qu'on doit prendre au départ, dans les formules (A) et (B) ; on a :

DYNAMlULt:. 67

Si f{)\) > 0, r augmente avec r; si donc en M^ le mobile est lancé au-dessus du parallèle du point Mo, r devra commencer par croître; il faudra prendre alors le signe + dans les formules (A) et (I^). Les formules (A), (B), (C) résolvçnt donc entièrement le problème.

115. Lignes géodésiques des surfaces de révolution. — ,Si, dans les formules ci-dessus, nous supposons gf = 0, nous aurons la trajectoire suivie sur notre surface de révolution par un point matériel animé d'une vitesse initiale, sans qu'aucufte force- agisse sur lui; nous savons que cette trajectoire est une ligne géodésique de la surface; en faisant varier r„ O^, v^^ ««, on aura toutes les lignes géodésiques.

L équation (A) donnera, en faisant -^ — 7 •

c te

V étant constamment égal à v^ dans ce cas, la formule (1) donnera :

(3) r cos a = - = i.

C*est la propriété caractéristique des lignes géodésiques des surfaces de révolution, et c'est d'elle qu'il faudra partir en général pour trouver les équations de ces lignes; elle exprime qu*en chacun des points d'une de ces lignes, le produit de la distance de ce point à Vaxc de la surface, par le cosinus de V angle que fait en ce point la ligne géodésique avec le parallèle, est constant.

Proposons-nous comme application de trouver les lignes géodésiques du cône de révolution. On aura pour l'équation différentielle des lignes géodésiques du cùne :

dô = ± ^'^^ t^* -H /•" (^')

r Kl — k'

iy^ COURS DE MÉCAMQUt:.

Soit fi l'aiiyle iiu soniniet du eùne, on ii :

: = r cotg ,3, donc :

f\r) = r colg fi, et'

/•' (r) = colg îi; par suite :

. ^ ± kdr ^ '' * r

d'où on déduit :

arc cos - = sin g (6 — 0 J,

-r=cos|(6-e,)sinp{,

cos [{9 — OJ sin fjj'

On déterminera les constantes Â; et 0^, en écrivant que la ligne géodésique passe par deux j)oints donnés.