CHAPITRE XV

APPLICATION AU MOUVEMENT DU PENDULE CONIQUE

Fi^ m

116. Considérons un pendule simple formé par un point matériel pesant M, de masse m, suspendu à un point fixe 0, par l'intermédiaire d'un fil OM; si, après avoir écarté ce

pendule de la verticale Oz,

'if on imprime au point M

une vitesse qui ne soit pas

contenue dans le plan j:OM, ce pendule se déplacera en tournant autour de la verticale, en s'éloignant et en se rapprochant alternativement de cette verticale ; * ce sera ce qu'on appelle

un pendule conique. Le point matériel M pourra être considéré comme assujetti à rester sur la surface d'une sphère, ayant le point 0 pour centre, et pour rayon la longueur Z = OM du pendule; la réaction de la surface sera remplacée par la tension du fil.

Nous supposerons Taxe Oz vertical et dirigé vers le has; nous prendrons des coordonnées polaires r et 8 sur le plan rrOy, de manière que les coordonnées du point M seront z, r et 0. On aura :

ir' 4- y- 4- -' = /■: x :=zr cos 0; // =-. r sin 0.

z + V étant toujours positif, à cause de y > Z, on voit que pour que Texpression de dt soit l'éelle, z devra toujours être compris entre p et a; g est le minimum de z, a le maximum.

Supposons que, à partir de r^, z aille d'abord en croissant,

il croîtra jusqu'à a, puis Fig 130 déci'oîtra jusqu'à 3 pour croître ensuite jusqu'à a.

Si nous considérons les petits cercles horizontaux de la sphère, -répondant :

CA à :: = a, DB à r = g, la courbe sphérique décrite par le point M sera comprise tout entière entre ces petits cercles, qu'elle touchera, le premier aux points A et A', le second en B. La formule (B) nous donnera :

c lilz

(B') dô Vtg =

Il est évident que la trajectoire se composera d'une infinité de parties égales à ABA'; car, pour deux de ces parties, dans les formules (A') et (B'), z reçoit les mômes valeurs. Il y a plus, les deux arcs AB et BA' sont symétriques, relativement au plan vertical mené par le point B et par le centre de la sphère, et ces deux arcs sont parcourus de la même manière. Soient en effet M et M' deux points correspondants de ces arcs situés à la même liîmteur. Le temps V que met le mobile pour aller de M en B, est donné par la formule :

ri/^g= = / ;

•^'- y{x — z) (z — ^) iz 4- v) •^ «^ Ku — w (:î - f ) iz 4- v)

le temps t' qu'il emploie pour aller de B en M' est donné par la même formule.

On verra de même en partant de la formule (B') que, si Ton désigne par 6' et b' les angles décrits par le rayon vecteur de la projection du mobile sur le plan a?0 j/, quand le mobile va de M en B et de B en M', on a :

Q' yïg __ p —dz

cl Je (P - z*) |/(a — z) {z— g) {z 4- y)

p dz ^

et que 6' a la même valeur.

Nous allons calculer l'angle 0 décrit par le rayon vecteur de la projection du mobile sur le plan xOy, quand le mobile passe d'un maximum au minimum suivant, ou inversement.

Remarquons d'abord que l'équation o(z) = 0 peut s'écrire :

-» 4- — -' — /*- -+• ^ ""^ ^ — 0les racines de cette équation étant a, p, — v, on a les relations :

d'où l'on tire :

•'• îg

et, en éliminant y :

74 COURS DÉ 3IÉCASIQUE.

les foi-raules (A') tt (B') pôuiTônt s'cdrirè en VeMu dé (8) et (9) comme il suit :

Idz

<*•' Virh) " =

(B") rfe = ±

K(« "-5) (î - ?)"l(» +^)z+v + il\ V{1* — a') (/* — p*) Jrfs

(/*-s') K(« — 3){3- 3) [(a + P) 3 + r + a|l] on en déduira :

(iO)e=/k'(/'-«')(/*-p') r '^^

M. Puiseux a démontré d'une manière générale (Liouville, totae Vil) qute cet angle 0 est toujours supérieur à - • Voici sa démonstration : lorsque z varie de p à a, l'expression

reste compiîse entre

i*+2a? + p* = /»— a' + (a+?)' et /*+2a? + a* = î'— ^VCaS-?)*;

si donc on désigne par !* une moyenne entre l^f* + 2a3 + 0* et |//* -t- 2a^ + a*, la formule (10) donnera :

^ ^ K(/' - g') (/' - S') p ïdz

Or, on trouve (') :

Ç' Idz

2 ( Vu - a) (/ - p) i/(T+T)17 :rp) r

(0 Lîi formule (11) peut être démontrée de la manière suivante : Changeons de variable et posons :

il en résulte :

^ :: y il H- a) (/-+-?) + l/(/ — a) {! — ?)

En remplaçant |JL successivement par ses deux limites données plus haut, et faisant :

ou bien :

d*ou :

Bin» Ç ces» Ç '^ '

« = a sin" 2Î + p cos' ^, <f« = 2(a — p)8inî;co8 C t/j;,

V/(a — «7(«^^P) = (a — p) Bin ; co» C Soit U la valeur de l'intégrale cherchée; on aura :

Jo (/ 4- «) 8in« ; + (/ 4- p) co8« C~^ Jo* (/- 3t>8in« :+(/- p) cos«V or, A et B désignant des quantités positives, on a :

+ CODSt.,

A 8in* C 4- B cos« Ç g y/^

En remplaçant A et B d'abord par I 4- a et l 4- P, puis par i — a et {l — p), on trouve :

^ M/(/ 4- a) (/ 4- p) V/(/~a)(/-p)^ ce qui est bien la formule (ii). ^

on aura :

or, à cause de l'identité :

= 1/2/* + 2a? + 2 K(<' — a') (/* — P'). On peut écrire les expressions de P et Q comme il suit :

» ^ y/. ■ «• - «•) + 2 y^JP - «•) (f* ^

et à cause de

il en résultera :

>2' ^>2- Donc, 0 qui est compris entre P et Q, sera liii-mcme plus

grand que 1 •

118. Projection de la courbe sphérique sur le plan horizontal. — Considérons la projection de la courbe sur le plan horizontal xOxj\ les coordonnées d'un point quelconque de cette courbe sont r et 6; on aura pour déterminer cette courbe les équations :

(13) rf8 = ±l/(/- — a') (/*-&')

l/(a— ::) (r— g) [::(a-4- ^3) 4- /- -4- a pî En éliminant c, on aurait l'équation différentielle de la

courbe cherchée; mais il vaut mieux garder les équations précédentes. Soient r' et r* les rayons des petits cercles de

la sphère, qui répondent à z = a etz=g, onaura:

La courbe sera tout entière comprise entre les circonférences OBetOA:

OB = r',OA = r'.

Soit V l'angle c formé par la tan-

gente à la courbe en un point quelconque avec le prolongement du rayon vecteur, on a :

rrfO

lgV=:

dr

en remplaçant r et 6 par leurs valeurs (12) et (13), on trouve :

tgVzzrq:

z 1/{0L ^z)(Z-' P) [z (a + P) -h r + aP]

On voit que, pour r = a ou pour c = 3, V = 90", donc la courbe est tangente aux deux circonférences aux points A etB.

D'après ce qui a été démontré, l'angle AOB est supérieur à 90>. Si cet angle s'était trouvé égal à 90^, la courbe se serait fermée au bout d'un tour.

Cherchons quelles doivent être les conditions initiales pour que le mobile décrive un cercle horizontal de la sphère, autrement dit pour que le pendule décrive un cône de révo-

lution, ayant pour axe la verticale menée par son point de suspension. Il est clair qu'il faut pour cela que les deux valeui^s limites a et 3 entre lesquelles z oscille, deviennent égales toutes deux à z^\ il faut donc écrire que l'équation ç(z) = 0 a deux racines égales à Zo, c'est-à-dire que Ton a .

On a :

ç(j)=(2/7:rH-c')(/*~-s*)-c«,

ou bien, en remplaçant c et c' par leurs valeurs (1) et (2) et î" par z^ + r/ :

ç (2) = I r„* -h 2// (;; ~ sj j (r,« + z^ — s') - r,* t;.* cos*-a., ^ 9' (.') = 2 j ^ O-o' + 2,' - -') ^ 2 [V H- 2y fe - .-,)] {,

d'où :

9(Zo) = r,*Vo'sin*a. = 0,

f ' (lo) = 8 (?ro' - z, V,') = 0.

On tire de là :

La vitessiB initi^ile doit donc être horizontale et avoir la grandeur trouvée ci-dessus. La formule

,rfe nous donne ensuite, à cause de r = r^ :

d^ Vo . /ff

d*où, 6o désignant la valeur initiale de 0 :

-'■='Vi

ce qui montre que le mouvement du pendule est uniforme,

et qu'il met un temps égal à 2- l/^ pour faire un tour

entier autour de la verticale.

On peut résoudre directement la même question; la formule :

nous montre que z étant toujours égal à z^, v est toujours

égal à v^; ainsi, les conditions initiales doivent être telles que le mobile soumis à l'action de son poids MP, et de la tension MN du fil, et par conséquent rendu libre, décrive un cercle d'un mouvement uniforme; il faudra donc que la résultante MA de ces deux forces soit dirigée vers le centre

Fig.192

du cercle, et soit égale a — z~

On en conclut :

AM MC r„ AN~ 0C"~'

d'où:

la vitesse v étant toujours horizontale, il en sera Je même de v,; on retrouve donc bien les conditions énoncées ci-dessus.

119. Calcul de la tension du fil. — Soit M un point quelconque de la trajectoire du mobile; la normale à la surface en ce point est le rayon M 0 ; soit M T la tangente à la courbe; par cette tangente et 1q normale MO faisons

passer un plan qui coupe la sphère suivant un grand cercle ;

la formule générale

fîlV

qui fait connaître la pression dans le cas d'une sui'face quelconque, donne ici :

mg cos PMQ.

La composante Q est bien ;>^ positive dans le cas actuel, puisqu'elle est dirigée en sens contraire du rayon MO; on a :

cos PMQ = cos ZOM = j-

Donc

mgz

N = j(»* + gz),

or :

donc

N est maximum pour z = a, minimum pour z = g.

120. Autre manière de déterminer N. — Les équations du mouvement du point M soumis aux forces m g et N, et par conséquent rendu lil)re, sont :

dt'~" ) dt* m l

r rf'3 N z

\ dt" ~ ml'*' ^'

On eu tire :

^ ' dt* ^ dt' dt' ^ m l m

Or on a : jc' + j/* + c' = i* ; on en conclut :

dx dy d^

iVoii :

rf*.r d'y d'z __ {dx' -+-«??/*-+- dz') __ ,

On a donc, en portant dans (15) :

connue ci-desîsus.

121 . Cas des petites oscillations. — Nous supposerons que le pendule ne fasse que de très petites oscillations, de part et d'autre de la verticale, ce (jui exige que la position initiale soit trùs voisine do cette verticale, et que la vitesse initiale v^^ soit très petite.

Nous aurons les équations :

d^ Nx /^\ 1 dt' m l

df m l

où N u la valeur :

On a du reste :

DESPEYROrS. -- Mèccinique, II. 6

OC 1i

d'où, cil série très coiiveryeiito, puisque -.- et -z sont ti'ès petits :

il 81'

OU aura une étjualioii aiialoj^ue en reiuplaraiil /, x, //, z respectivement par î„ a;,, j/o, z^; (2) donne ensuite :

m-^-^HVl W—'^—ê s

On a donc, en né^digeant les petites quantités du second ordre, v^\ x,\ y,\ x\ y- :

et alors, les équations (i) donnent :

de - / "^^ dt'" l ^' d'où en intégrant :

x=zkco%t l/^ + B sin ^ l/^»

y = A' cos 1 1/^ -+- B' sin 1 1/^.

On déduit de ces équations :

Nous supposerons que Ton ait pour f = 0 :

àx ^ f. dy

ce qui revient à faire passer le plan zOx pur l'uu des points

les plus élevés ou les plus bas ; il en résultera :

a-, = A; 0 = A', Donc :

y-y/ir.sin/y/f.

La durée T de la révolution est égale à 2x 1/ -• On déduit des équations précédentes :

La courbe décrite a donc pour projection une ellipse rapportée à son centre et à ses axes.

Pour avoir une approximation plus élevée, il faudiait prendre :

N fro* 3(0?* + y«) a?.*"!

en y remplaçant a; et y par leurs valeurs Ci) fournie.:! jiar la première approximation, on aui'ait ainsi :

Eli portant cette valeur dans les équations (i), elles deviendront :

84 COUllS DE MÉCANIQUE.

Oïl aura donc à intt-gi'ei* deux équations linéaires à coefiicieuts constants et avec seconds membres. On peut ainsi l)rouver qu'à la deuxième approximation la courl)c décrite en projection est une ellipse dont le jdan tourne autour de la verticale Oc dans le sens du mouvement pendulaire avec une vitesse angulaire constante (0.

(') IMiir le calcul des ap]»roxiiualioiis plus clcxôcs, voir le Méiiioiro ilc