THÉORIE DES MOUVEMENTS RELATIFS

122. Énoncé du problème. — On connaît la résultante R des forces qui sollicitent un point matériel M de masse m; on sait former les équations dllférentielles du mouvement absolu de ce point, relativement à trois axes rectangulaires fixes AX, A Y, AZ, et on en déduira par l'intégration pour les coordonnées X, Y, Z du mobile à répoi[ue t :

Cela posé, considérons un système rigide en mouvement, et* soient 0;r, Oy, Oz trois axes rectangulaires liés à ce système: si le mouvement de ce svstème est connu, on pourra trouver à Tépoque t les valeurs des coordonnées du point M par rapport aux axes mobiles,

Mais on peut demander de trouver ces expressions de x^y^z^ c'est-à-dire de déterminer le mouvement relatif, sans passer par la détermination du mouvement absolu; c'est ce dont nous allons nous occuper.

Soit M le point du système oii passe le mobile à Téporiiie / ; ce point ([ui est lié invariablement aux axes Oo:, Oy, Oz prendra un mouvement absolu qui est ce qu'on appelle le

mouvement d'entraînement du point M. On sait du reste que, lorsqu'un corps est en mouvement, la vitesse d'un quelconque de ses points est à chaque instant la même que si le corps avait une vitesse de translation égale et parallèle à celle d'un point arbitrairement choisi dans le corps, et tournait autour d'un axo passant par co point, avec une vitesse angulaire déterminée cd; quel que soit le point choisi, la direction de cet axe de rotation sera la même, et aussi la vitesse de rotation w. Cela posé, le théorème de Coriolis nous apprend que : L'accélération du mouvement absolu est la résultante de trois accélérations :

1° L'accélération du mouvement relatif v';

2^ L'accélération du mouvement d'entraînement du point M, y"; ^

3° L'accélération y = 2ci)i' sin (w, i»), v désignant la vitesse relative, et (eu, v) Tangle de cette vitesse relative avec la direction de Taxe instantané qui passe en M ; •/" est perpendiculaire sur la vitesse l'elative v et sur Taxe instantané, et relativement au plan de ces doux droites, elle est située du côté où la rotation entraîne la vitesse relative ; on peut donc écrire entre ces quatre quantités géométriques la relation :

7 = 7 + 7 + T'en en conclut :

Soit R la résultante des forces physiques qui agissent sur le mobile ; on a :

d'où on conclut :

wy' = R — my' — my'\ Imaginons deux forces fictives, l'une F^ = — mv';

l'autre F, = — wy"; joignons-les aux autres forces physiques dont la résultante est R, et désignons par R' la résultante de l'ensemble ; nous aurons :

wv' == R -+- F, + F. = R' , d'où :

Ainsi, raccéléralion du mouvement relatif est dirigée suivant la force R' et elle est égale au quotient de cette force par la masse du mobile.

C'est là le théorème fondamental rencontré au début de la Dynamique ; on peut l'appliquer comme si les axes étaient fixes; mais on voit qu'outre la force R, il a fallu introduire deux forces fictives. La force F, est égale et contraire à celle qui produirait le mouvement d'entraînement; la force F, a pour expression 2m(ùV sin((i), v)] elle est perpendiculaire au plan mené par l'axe instantané et la vitesse relative, et en sens inverse du côté où la rotation entraîne la vitesse relative; on lui donne le nom de force centrifuge composée.

Soient X, Y, Z les composantes de la force R relativement aux axes mobiles, et X,, Y„ Z, celles de la force fictive F,, X„ Y„ Z| celles de la force fictive F,, par rapport aux mêmes axes.

On aura, pour déterminer le mouvement relatif, les équations :

W — = \4-Xi + A„

Après avoir intégré ces équations, on déterminera les

constantes, en écrivant que pour 4 = 0,

X = OTo, .V = yo» - = -0 ; (-jjf ] = ^\ cos ao ; ^^M = x\ ces ^o;

cos

«^*uj 2/0? -0 tétant les valoui's dos coordonnées relatives à l'époque l = 0, et t'^, ao, P«, Yo dési{^auint les fçrandeurs à la niùme époque de la vi liasse relative et des angles qu'elle fait avec les axes mobiles OcT, 0//, Or.

Cas particuliers. — La force centrifuge composée est nulle dans les trois cas suivants : 1'' quand la vitesse relative est nulle, alors if = 0 et F, = ^m\ùV sin((i)t') = 0; c'est le cas de l'équilibre relatif; 2" quand la direction de Taxe instantané se confond avec celle de la vitesse relative, car alors ((.), y) = 0; 3" (juand le mouvement des axes est une simple translation, car alors w = 0.

123. Application au mouvement d'une planète autour du Soleil. — Nous savons que nous pouvons réduire le Soleil

et la planète à deux z / points matériels S

et P, de masses M et m ; le Soleil est en mouvement ; par chacune de ses positions, nous menons des axes rectanf(ulaires Sa:, S y, Sr parallèles aux axes fixes ; nous nous proposons de trouver le mouvement relatif do la planète par rapport aux axes mobiles St^, Sy, Sz; Taccélération 7' du mouvement

crentraînement est la même que Taccélération du mouvement absolu du Soleil; la force d'attraction de la planète sur le

Soleil est dirigée suivant SP, et a pour valeur —r; on a

ffn

donc : v" = -j^ et cette accélération est dirigée suivant SP; l'attraction du Soleil sur la planète est dirigée suivant PS et égale à —5-; l'accélération 7 du mouvement absolu de la

planète est donc égale à -j et dirigée suivant PS; la formule

nous montre donc que l'accélération du mouvement relatif est dirigée suivant PS et égale à

elle est la même que si le Soleil était fixe et avait une masse égale à M + m. C'est ce que nous avons déjà trouvé d'une autre manière, en partant de la considération des mouvements absolus du Soleil et de la planète.

124. Cas où le mouvement d'entraînement est une rotation uniforme autour d'un axe fixe. — C'est le cas

qui se présente le plus souvent dans les applications.

Soit AP l'axe de rotation, (.) la vitesse angulaire constante do cette rotation; le mouvement d'entraînement du point M consiste à décrire d'un mouvement uniforme le cercle MC dont le plan est perpendiculaire à Taxe; dans ce mouvement l'accélération tangentielle est

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nulle, puisque la vitesse est constante, par suite -r^ = 0 ; raccélération est donc dirigée suivant la normale MC et

elle est ^ale à

=:(D*MC = o)V;

la force F, est dirigée suivant le prolongement du rayon CM, et elle a pour valeur F, = mw'r; on lui donne le nom de force centrifuge, à cause de sa direction; mais c'est une force purement fictive. 1/iixe instantané de la rotîUion, pour un point quelconque, est parallèle à Taxe (ixe, et la vitesse angulaire de la rotation est égale à w.