Mouvements relatifs à la surface de la Terre

Considérons d'ar'^ bord le repos rela-

Fin.19

tif à la surface de la Terre; soit OP Taxe de rotation de la Terre, o) la vitesse angulaire de rotation, A M un pendule, A le point fixe, M le point matériel. Les forces physiques qui agissent 'sur ce point sont : la tension MT du lil, dii'igée suivant MA, et Tattraction MB. Pour avoir le repos relatif, il faut introduire la force fictive MF, dirigée suivant le prolongement du rayon MQ du parallèle du point M. On a :

MF, r=M(o-.MQ=:??/a)'r.

Les trois forces MT, MF,, ilB doivent se faire équilibre;

donc MT sera égale et opposée à la résultante M G de l'attraction et de la force centrifuge. A'insi, la direction du £11 ne sera pas celle de Tattraction; la pesanteur apparente sera représentée en grandeur et en direction par M G ; toutefois, cette pesanteur apparente différera peu de Tattraction, I)arce que w est petit; en effet, la Terre tourne sur elle-mùme en un jour sidéral, c'est-à-dire en 80164 secondes de temps moven : on a donc :

La plus grande valeur de Taccélération due. à la force centrifuge, wr, a lieu à récjuateur, où on la trouve égale à 0"%033852; si on compare cette accélération à celle qui est (lue au poids du corps, et que nous avons représentée par //, on trouve qu'elle est envii'on "289 fois plus petite que cette derniùre accélération. Ainsi, la force centrifuge est très petite, par rapport à la pesanteui' apparente et par suite par rapport à Tattraction. La rotation de la Terre sur elle-même n'a donc qu'une inilucnce assez faible sur l'intensité de la I^esanteur, et sur la direction de la verticale. On a : 289 = 17', de sorte que, si la Terre tournait 17 fois plus vite, la force centrifuge à l'équateur serait égale à l'attraction et, I)ar suite, à l'écfuateur le poids a]q)arcnt d'un corps se réduirait à zéro.

Dans les mouvements relatifs terrestres, nous avons à considérer trois forces : l'attraction (r et les foi'ces fictives F, et F, ; dans les limites des petits mouvements terrestres G et F, sont constantes en grandeur et en direction. On pourra remplacer G et F, par leur résultante, qui sera constante en gi'andeur et en direction; cette direction sei*a celle de la verticale ; nous n'aurons donc plus qu'à considérer la force centrifuge composée.

128. Calcul des composantes de la force centrifuge composée. — Soient 0 un point de la surface de la Terre, OP la parallèle menée par ce point à la partie nord de Taxe de rotation, OA la parallèle à la vitesse relative v, OB la direction de la force centrifuge composée, perpendiculaire

sur le plan AOP, et en sens contraire de celui où la rotation directe autour de OP entraîne la vitesse relative OA; soit 6 l'angle AOP. Prenons trois axes rectangulaires O X , Fi<) 198 Otj, Oz, liés à la Terre, et tels que, pour un obser vateur couché le long de Oz, les pieds en 0, et la tête en z, et regardant Oa?, Taxe Oy soit à la droite de cet observateur. Soient :

a, b, c les cosinus des angles de OP avec les axes. a\b\c' — OA —

u\b\c' — — OB —

On aura :

d*où :

aa' -f- hb* + ce' =0, a' a' + b' b' -^ c' c' =: 0,

bc' — cb' ca' -— ac' ab' — ba'

y{bc' — cb'y -+■ (ca' - ac'Y H- ifib' — 6a')*

Or:

= i — cos'6 = siii*0, il viendra donc :

» ^ lf<^' — (^b' ,- ^ ('rt' — ac' , ab' — ba' ^ -^ sm 6 sm 6 sm 0

Reste à savoir le signe qu'il faut prendre, et qui est du reste le même dans les trois formules.

Considérons pour le moment un nouveau système d axes

rectangulaires 0 x^ ,

Oj/o» Or„ disposé comme le précédent, pouvant par consé- ((uent coïncider avec lui ; faisons coïncider Or, avec OP, et le plan z, Ox^ avec leplan AOP; la rotation ayant lieu de y^ vers Zp, entraîne la vitesse relative OA «lu coté du plan z^ Ox^ opposé à O;//, donc la force centrifuge composée OB sera dirigée suivant Oy^; on aura dans ce cas :

bo = 0,

/ a\ = sin 0, , a\ = 0, ^ b\ = 0, b\ = -^l,

cos 0,

La seconde des formules (l) donnera :

-^ 1 =i ± -T— r = ± i ; sin 0

iJ faut donc, dans ce cas, prendre leis signes siipéiieurs, tît

U-i COURS DE MÉCANIQUE.

128. Calcul des composantee de la force centrifuge composée. — Soient O un point de ta surface de la Terre, OP la parallèle menée par ce point à la partie nord de l'axe de rotation, OA la parallèle à la vitesse relative v, OB la direction de la foi'ce centrifuge composée, perpendiculaire sur le plan AOP, et en sens contraire de celui où la rotation directe autour de 0 P entraîne la vitesse relative OA; soit 9 l'angle AOP. Prenonstroisaxes rectangulaires O X, Fi<) 19Ô f^y- 02) liés à la Terre, et tels que, pour un observateur couché le long de Oz, les pieds en 0, et la tête en r, et regardant Ox, l'axe Oy soit à la droite de cet observateur. Soient :

les

cosinus des angles de OP uvec les axes.