OB

On aui'ii :

aa' + bb' + ec' =Q, a' a' -i- b'b' + c' c' = 0,

d'où :

Ve-cb'-

ac' ab' ~ba'

K(tc' — cb')' + {ca' — «c')' + (.«&' — ba')*

Or:

:L{bc' -'Cb'y^ia'-^b' -hc') {a"+ b'*+ c") - {aa' -^ bb' -h cc'Y

= 1 — cos' 6 = sîii' 0, il viendra donc :

sm 6

6fl' — ad

sm Ô

ab' — ba' sin 0

Reste à savoir le signe qu*il faut prendre, et qui est du reste le même dans les trois formules.

Considérons pour le moment un nouveau système d axes

rectangulaires 0 a'o , Oj/j, Or„ disposé comme le précédent, pouvant par conséquent coïncider avec lui ; faisons coïncider Oz, avec OP, et le plan z^ Ox^ avec leplan AOP; la rotation ayant lieu de y^ vers Zp, entraîne la vitesse relative OA du côté du plan z^ Ox^ opposé à 0?/^; donc la force centrifuge composée OB sera dirigée suivant Ofj^; on aura dans ce cas :

a^ = 0, ; a\ = sin 0, . a\ = 0, b, = 0, b\=0, h\ = -^\,

Co = H- 1, ( c\ = cos 0, ' c\ — 0.

La seconde des formules (l) donnera :

Sin 0

il faut cioiic, dans ce cas, prendre les signes supérieurs, et

96 COURS DE MÉGANIQUE.

Ton a :

^^^ ^'^ sin 6 ' ^' ^ sine ^ ^ ^ ^hTë '

Je (lis que le signe, une fois choisi, se conserve et qu'on aura, dans tous les cas :

^ ' Sin 0 sin 0 sin 0

En effet, si nous déplaçons d'une manière continue notre nouveau système d'axes, les cosinus abc, a'b'c\ a'V c" des angles ({u'ils forment avec les directions OP, OA, OB, vaiieront d'une manière continue ; si le signe commun des seconds membres des équations (3) venait à changer, c'est que cCVc^ se seraient annulés tous les trois, ce qui est impossible, puisque l'on a a'* -h 6" + c'* = 1. On pourra ainsi amener le nouveau système d'axes à coïncider avec l'ancien. Donc, les formules (3) ont toujoure' lieu.

Soient maintenant p, g, r les projections de la rotation (ù sur Ojt;, 0//, Oc. On aura :

1 dx ., 1 rf// , 1 dz " ~v dt' " ~v dt' ~v dt

Il en résulte ([ue l'on a, sans anibiguité :

, 1 / dz dy\ " ~.orsinO Vr/7 '■ dt)' ., i ( ,dx rf£\

~(.)t'sinOV dt ^ dt}' ,l/rfy d x\ ^ ~i^c&ia(i Y dt '^ dt)'

J-. =zh + "iu) la siîi A./ — c cos \,t -h - </cos A./-J

ce qui donnera :

-TT = a — 2(1) 6 sin X./,

j- = c — gfi -h 2(0 fc cos \.i.

On en déduiiM, pour la seconde approximation :

/ x^=:at — b(ù sin X.<*,

\ y, = frf H- (0 (a sin X — c cos X) /* •*- ;l //g) cos X J*,

^gt^ -4- 6(1) cosX^*.

On pouri*ait obtenir aussi facilement l'approximation suivante.

Cas de la chute libre. — On n'aura qu'a faire dans les formules (5) a = 0, b -— 0, c =-- 0. On en déduira :

(6) A = 0; y, — ^i/(i)COS A.^'; r, i-^ — -[/r.

Soit h la hauteur de chute ; on aura :

}/^ étant positif, il y a une petite déviation vers Tesl. Appliquons cette fonnule à des expériences qui ont été faites par M. Reech, dans un puits de mine à Frcn-berg; on avait: h =^ i38"*,5; X = 51*^; en remplaçant X et h par ces valeurs, et mettant aussi pour ta cl g leurs valeurs, on trouve

mouvement seront :

rf*a? . dy

-7-5 = — 2tosmX -7-»

i dr dt

. ,^, \ d' y ^ / ,, ^ dx ^ dz\

On peut intégrer une première fois ; nous supposerons qu'on ait pris pour origine la position initiale du projectile, et nous

désignerons par a, 6, c les valeurs initiales de •77' 7;' tîtî nous aurons :

-r- = a — 2(0 sin X.y,

(3) 3^ = & 4- 2w (a? sin a — z cos \\ ^ ^ j dt ^ . ^