c — gt -¥ 2o) cos X.y
. (Il
On a là un système do troii> équations linéaires simultanées, avec seconds membres; du pourrait les intégrer aisément; mais les foi'inules (|ue Ton uhtiendi^ait ainsi seraient assez compliquées, et d'un emploi peu commode. Il est préférable d effectuer les intégrations par approximation, en partant de ce que m est très petit; dans une première approximation, eu négligeant w, nous aurons :
/ x^ = at,
(4) \ l/i = fft.
I z, = Ct — ^
^<Jt^.
Nous aurons la seconde approximation en remplaçant dans les seconds membres des équations (3) a;, j/^ z par a?„ y„ z„
ce qui donnera :
— =• a — 2u) 6 sin X.^
~ = 6 + 2(1) ((* siii \.t — c cos \.t H- 3i/cosX./-J
dt
dz
j- = c — gt -h i(ù b C0& X.i,
On en déduim, pour la seconde approximation : / j?j = fl^ — ft(i) siu X.<*,
I y, = frf H- (0 (a sin X — c cos X) <* •*- ^ â^o) cos X J*, / 1
' z^ = ct — Âgt^ -h biù cosXf.
On pourrait obtenir aussi facilement Tapproximation suivante.
Cas de la chute libre. — On n'aura qu'à faii-e dans les formules (5) a = 0, î; =i= 0, c = 0. Oh en déduira :
(6) -^. = 0; !/t = :^gu>C06\.t'; z,--—;^gt'.
Soit h la hauteur de chute; on aura :
2 Kîi to cos X . ,yr ^ Vg
>/ ëtiint i)0sitif, il y a une petite déviation vers Test. AppHiiiions cette fonnule à des expériences qui ont été faites par M. Reech, dans un puits de mine à Freyhcrg; on avait: h ==, 158",5; X = 51*^; en remplaçant X et h par ces valeurs, et nictlant aussi pour w et gf leurs valeurs, on trouve
j/, = 0"™, 0276 pour ladévkition à l'est. L'expérience, répétée un grand noniljrc de fois, a doinié pour cette déviation le nombre 0"*,0281J, noiubre c|ui dillcrc très [»eu du précédent.
130. Mouvement relatif d'un point pesant assujetti à se mouvoir sur un plan horizontal. — En désignant par N la réaction du plan horizuntal, les é(iualions du luouvement seront :
-T- — — 2(1) Sin A-77»
V dr- dt
\ d^ij ^ / . . dx ^ dz\
I d'z ^, ^ . dy
dz (Jp "^
Or, on doit avoir constamment r = 0, d'où -j^ = 0, -jf = 0;
il en résulte donc :
(7) N=z^-2(ocosa|J^
(8) Ç:^^-.,osinX^;^
^ ^ (ir- dt
d'if » . . d.v
L'é(|uation (7) donnera la réaction N ; les deux autres peuvent être intégrées rigoureusement, d\me manière très simple; on en déduit d'al.)ord :
dx -^i -^ du -r^ ^ 0, dt- '' dt'
/./^v dx' dii^ ^
Ainsi, la vitesse est constante; en intégi'ant ensuite les épiations (8) et (^îi), et désignant [Kir x^ l'angle ({ue fait
avec Oo? la vitesse initiale ?;„ il vient :
— = Vq cos aç — 2(0 sin A. y,
(il) { /
— = Vq sin a^ -♦- 2(1) sin A.ir; et en portant ces valeurs dans (10), on trouve :
\2(i) sin A/ V 2(0 sin a/ V 2w sin a/ '
ce qui est l'équation d'un cercle, dont le ravon est 5 — ?— r-; * ^ ' * 2(i) sm A
à la latitude de 30*', ce rayon a pour valeur — = 13698 v^;
(Oq
ainsi, le mobile devrait décrire un cercle d'un très grand rayon, et le décrire d'un mouvement uniforme.
On peut arriver au même résultat d'une manière un peu différente. Les trois forces qui agissent sur le mobile, la pesanteur, la réaction du plan, la force centrifuge composée, étant normales à la trajectoire, leur travail est nul, et le principe des forces vives nous montre que la vitesse est constante; ainsi v =^ v^; les composantes X, et Y, de la j)rojection de la force centrifuge composée ont pour expressions :
X, = — 2mto sm a ~; Y. = 2w(o sin X -r--
lit dt
Soit a Tangle de la vitesse avec Ox\ on a :
dx dy
~=roCOSa; ^ = t^o sm a.
Il en résulte :
X, = 2;m(o t\ sin a cos (a -*- ^j»
Y, m: 2?//(o i\ sin A sin fa -f- - J- Ce qui montre que la force motrice fait avec Ox Tangle
102 COURS DE MÉGâ!(IQUE.
a+ ^et que l'intensité de cette force est égale à 2ma)jSinXi'p; elle est donc normale à la courbe, et constante; mais on sait
(luc la composante normale a poui' expression générale ç désignant le i*ayon de courbure ; on a donc :
mv^ I
— - = 2/n(i) Vg sin X,
d'où :
ro
i<ù sin X
Ainsi, le rayon de courbure est constant; la courbe décrite est donc un cercle. Le temps T employé par le mobile à décrire son cercle sera :
i\ (I) sin X
Soit T' la durée de la rotation de la- Terre sur elle-même; on a :
il en résulte :
2 sin A quantité indépendante de v^.
RmiARQUE. — Soient OA la direction dé la vitesse à un
moment quelconque, Oli y Fig 201 eelle de la force centrifuge
composée: Tangle AOR est
yr ^ droit, et OTî est situé à droite
y" deOA; donc, un corps quel-
^. \L'^ conque en mouvement dans
un plan horizontal teod, en vei-tu de la rotation de la Terre, à dévier vers la droite; rinten^ité de la force déviutrice 2mtù v^ sin X varie de
zérOy à réquateur, à 2m o) 1/^ qui est son maximum au pôle. Ainsi, un coi'ps en mouvement dans un plan horizontal situé sur Thémisphère nord a une tendance à dévier à droite de sa vitesse. Les fleuves qui coulent dans Thémisphèrenord, sous des latitudes élevées, exercent en moyenne une plus grande pression sur leur rive droite que sur leur rive gauche; la force qui tend à dévier le fleuve à droite, est 2m(*) t; sin X; elle peut être grande à cause de m; la rive droite sera entamée peu à peu.
131 . Pendule de Foucault. — Nous allons étudier les petits mouvements du pendule simple à la surface de la Terre, en tenant compte du mouvement do rotation de la Terre.
Prenons le point de suspension pour origine : soient Ox la portion nord de la méridienne, Oj/ la perpendiculaire à Oa?, dans le plan horizontal, dirigée vers Test, Oz vertical et
dirigé vers le bas. Nous représenterons la tension MA du fil par mN, m désignant la masse du point M ; les forces réellement appliquées au point M sont : la pesanteur MP =-- m g et la force wN; il faut y joindre la force centrifuge composée, dont les composantes seront X„ Y,, Z,; nous aurons ainsi, pour les équations du mouvement, en représentant OM par l :
dt' dt'
On (l(Mlnir;i les ovprossioTis «lo X,. Y,, Z., <le colles données précédeiiirneiil, vn y clianfioant z en — r, et Z, en — Z„ ce qui (lonnoia :
\ Ht
= — 2(0 sin A-r»
^ . . dîT . ^ r/w
- 2c.) sin h - — h '2f.) ros A -r-î af (il
=- 2... cos >/;•".
Les éqnations (1) deviendronl doiu" :
— 2(0 sin A -; 2(0 ros a , -+■ N ^
— + 2(0 ros A --•- •\.^J^g= 0.
On a ilailleurs :
(fi)
X' + if 4- :' — /'.
Le problème est ramené à la détermination des quatre inconnues x^ y, z, N, à Taide des équations (3), (4), (5) et (6); on ne sait pas intégrer rigoureusement ces équations. Nous nous bornerons au cas dès petites oscillations; on tire de (()) :
on aura, en série convergente :
* X y Dans le cas des petites oscillations, - et -,- sont des quan-
lilés petites; "J diffère de 1 d'une quantité petite du second
rs-.
ordre; il en sera de nirme de -y-^ qui ne dilîèrera de zéro
que de petites quantités du second ordre, j et ^ étant considérés comme étant du premier ordre; Téquation (5) donnera
N = /y — 2(.) cos A -7^1 ^ (Il
et cette valeur sera exacte, aux quantités près du second oi'dre; les équations (3) et (4) deviendront :
(1) TT -+" 2(0 sin A -j-- + - ^ — 2 7 (.) cos A -7^ = 0.
(Ir dt l l dt
(8) -^ — 2(0 sm A • -H 7 V — 2(0 cos a -^ 2 '^ (o cos a y; = 0.
^ dt^ dt l ' dt l dt
Les quantités négligées dans (7) et (8) sont de Tordre {-.]
/uV dy
ot ('. I : dans ces mêmes équations, les termes en tùX-j-i
dz dz /,t\' /v\'
U ^Yf" ^^ {y sont de Tordre de co (-. j ? (o lyj ; négligeons
encore cos quantités et les é({uations (7) et (8) vont devenir simplement :
(B) __2<o -4--I/-0, en posant, pour abréger,
Ci' = co sin A.
Pour intégrer, nous déduirons des équations (A) et (IT),
multipliées respectivement par 1 et V — i et ajoutées :
et cette équation, à elle seule, tiendra lieu des équations (A) et (B). C'est une équation linéaire, à coefficients constants, dont Tintégi'ale générale sera :
(9) a; + y K— 1 = A^'^v^-i + Be?'*«v'-i.
A et B désignant deux constantes arbitraires, r' et r' étant les racines de l'équation :
r» — 2(1)' ï/-lr + f = 0,
donc :
en posant :
il en résulte :
(10) X + y V^^ = Aé?(w-f- A> « v^^ + Be^^ -''^ ' v'^,
(11) ^-t- ^1/^ = ^^ i A((0' -h A)ew+")rv~i
H- B(V — h) é>(w-*wv'^ j.
Pour «létermincr les constantes arbitraires, nous supposer'ons que le pendule ait été amené en OM^, et abandonné à lui-meuie sans vitesse initiale apparente; soit m^, la projection (le ^fo sur le plan VO;/. Posons :
0??/o r=: r/, ?w„ Or = a;
on devra avoir pour l ±^0\
a* = a cos a, y = a sm a: - = 0, -~ = 0
ai dt
DYNAMIQUE. i07
Les équations (40) et (11) donneront :
''^^ fl^«v'~i = A 4- B,
' 0 = (o)' -i- A) A -*- (w' — /OB;
^ d'où:
et l'équation (10) deviendra :
gA« V-l
OU bien :
a? H- y K— 1 = a e^»'' + «> v~i J ces A/ — j- V— 1 sin A^ (•
Faisons un changement de variables, en posant, Ç et tq étant de nouvelles, variables réelles :
