COS
L'équation du i)lan invariable sera :
(14) Cx4- C'y 4- C'i: = 0.
Pour calculer C, C, C par les formules (12), Laplace
réduit les corps célestes, y compris le Soleil, à de simples points matériels, ce qui n'est pas rigoureux ; car, le signe 2 s'étendant à toutes les molécules du système planétaii*e, il y a lieu, comme Ta montré Poinsot, de tenir compte des parties provenant des molécules du Soleil, et de leurs vitesses dues à leur mouvement de rotation autour de Taxe du Soleil; il i'audi*ait faire la même chose pom' toutes les planètes.
On peut montrer toutefois que les parties ainsi négligées dans les équations (12) sont très petites (*) par rapport à celles que Ton conserve.
Il reste encore à introduire dans les équations (12), au lieu des coordonnées rapportées au centre de gravité, les coordonnées rapportées au centre du Soleil, qui sont celles que nous pouvons déduire des observations.
Soient x, y, r, m les coordonnées et la masse du Soleil, ^ij î/m ^h ^^h l^s mêmes éléments pour une planète quelconque ; on a :
et l'origine étant au centre de gravité, on a :
(16) mx -h ^niiXi ■= 0; my + ZiHit/i = 0; mz -h -m.w = 0.
Soient ;., r,., ï, les coordonnées de la planète, relatives au Soleil ; on aura :
(17) Xi = x + ;. ; yi = y -\r r^i ; -. = s 4- ï». Les équations (16) donnent alors :
a?Xm = — S m, 5.,
(18) \ ylm = -lmir,,
(>) Poisson, Mécanique, t. U, p. 471.
PoNT£COULANT, Système du monde, t. UI.
d32 COURS DE MÉCANIQUE.
A cause de (47), (15) devient :
/ (^y dJc\ ^, (hj ^, ». (Ijc ^,
^ = (^ rff - î' Tt) -"• ■*- S7 -'«''' - ./. -'"■''•
dx dy .
On remplacera, dans celte équation, x^ If y 17' li P^^' icui^
valeurs déduites de (18), savoir :
dx 1 ^ ^/;, rf^ Im ' dt
dy 1 „ dru
dt ~" Im ' dt
et l'on trouvera après réductions :
\ dt dt} m 4- Im. \ dt
\ dt dtj m 4- Im» \ d^
— lw;;/lm, -Il
\ dt dt ) m 4- Zvii \ dt
Nous avons remplacé dans ces équations Sm par yn-^-^nii On peut transformer ces équations comme il suit :
C (m 4- 2:m0 = m Zm, (^;. ^ - r, gj
Les termes en m] u. -— — r,/ -~ j se détruisent, et il reste :
De manière qu'en désignant par c, c', c' de nouvelles constantes reliées aux anciennes par les formules
on aura :
(., V s <^ fa — fuT]
) ' — "'• l- Tt - - rfjj + m --'"■'"^ L^^' - ^'^ -JT-
\ -<^'-^^— dr~J
On connaîtra à une époque donnée, pour les diverses planètes, les quantités ;., y;,, Ç, et leurs dérivées; si donc les masses des planètes sont connues, les formules (20) feront connaître les valeurs de G, C, C à Fépoque donnée, et relatives à un certain système d'axes. Si on fait le calcul à une autre époque très éloignée de la première, on aura des valeui's de C, C, C qui devraient être égales aux précé-
dentés, si on pouvait les rapporter aux mêmes systèmes d'axes, ce qui ne peut se faire d'une manière absolument rigoureuse. Quoi qu'il en soit, les deux valeurs de C* -h C* + C'- devront être égales entre elles, quels que soient les changements intérieurs surveims dans le système solaire, dans l'intervalle de temps écoulé, pourvu qu'il ne soit survenu aucune action extérieure.
Poui" être entièrement rigoureux, il faudrait faire intervenir les satellites et les comètes dans les équations (20), mais leurs niasses étant très petites, peuvent èlre négligées. On voit que, pour faii'e le calcul indiqué ci-dessus, il faudrait connaître avec une grande précision les masses des planètes; on ne les connaît pas encore toutes avec toute l'exact itude que l'on pourrait désirer.
Remarque. — Dans les équations (20), les seconds termes des seconds membi'es sont très petits, relativement aux premiers, à cause du diviseur m + ^nh qui est grand, à
cause de la présence de la masse du Soleil m.
On peut concevoir, comme il V suit, la possibilité d'obtenir dans notre système planétaire un système d'axes absolument fixes.
Le centre de gravité du système solaire décrit une droite d'un mouvement uniforme ; par un point arbitraire 0, menons une parallèle OP à cette droite, un plan NX parallèle au plan invariable, et conce-
Fia. 208
fiY5A3dlOUE. i3o
vons une sphère de rayon 1 ayant pour centre le point 0. Supposons que nous sachions déterminer à chaque époque la position du plan invariable et de la droite OP relativement à un système d'axes rectangulaires Ox, Oy, Oz. Soit OX la projection de la droite OP sur le plan invaiiable; prenons X Y =i XZ = 90°. Notre système d'axes absolument lixes serait OX, OY, OZ. On peut, c'est notre hypothèse, déterminer la position des axes OX, OY, OZ, relativement aux axes Orr, Oj/, Or; on pourra donc aussi déterminer la position des axes Ox, Oi/, Oz relativement aux axes abso* lument fixes.
Si X1J est le plan de l'écliptique, on pourrait donc rapporter la position de ce plan si important à des axes absolument fixes, et, par suite, suivre ses variations dans le coui"S des siècles. Il faudrait toutefois que la droite OP ne fût pas perpendiculaire sur le plan invariable, car alors le point X ne serait pas déterminé.
Mais, si la position du plan invariable est difficile à déterminer avec précision, il est infiniment plus difficile de déterminer la position de la droite OP, de sorte que ce que nous venons de dire ne présente qu'un intérêt purement théorique.
9. Principe des forces vives. — Considérons l'un des points matériels du système dont la masse est m, et v la vitesse à l'époque t\ on a, en tenant compte de toutes les forces tant intérieures qu'extérieures qui agissent i\xv ce point:
m^, = l\; m'^:=ZV; m^^^lZ;
on en déduit, en multipliant ces équations respectivement par dXj rfj/, dz :
mr'
d'^ = l (Xdx + Yrfy -t- Zdz).
'Ki6 COURS DE >IÉCANIQUE.
Faisons la somme de toutes les équations semblables relatives à tous les points du système, et nous aurons en intégrant :
(1) Zmv^ — ImtV = a^ f(S.dx -h Ydy +
Zdz),
v^ est, d'une manière générale, la valeur initiale de v; Xdx + Ydy + Zdz est, comme on sait, le travail élémentaire de la force F, aux composantes X, Y, Z, appliqué au
point Xy î/, ::; I (Xdx + Ydy + Zdz)j ou bien / (X -j-
dy dz\
+ Y T- + Z t; ] d<, est le travail de cette force pendant le
temps t\ l'équation (1) équivaut donc au théorème suivant :
Théorème général des forces vives. — La variation de la somme des forces vives de tous les points d'un système en mouvement, pendant un temps quelconque, est égale au double de la somme des travaux de toutes les forces^ tant intérieures qu'extérieures, qui agissent sur tous les points du système, pendant le même temps.
Travail des forces intérieures. — Considérons deux points matériels M (a?, j/, z), M' {x\ j/', z') de masses m et m'^ posons :
MM'=r;
l'action mutuelle de ces deux points se compose de deux forces MA = M'A', dirigées suivant la droite MM', chacune de ces forces étant égale à mm' ç (r). Les composantes de la force MA sont :
X = m m' s (/•) " ' ; Y = mm' ç (r) ^ "^ ^;
Z = mm'^(r)^^'"'""\
Le travail élémentaire de cette force est égal à : \dx 4- Ydij + ïilz
= — mm' ^^ [{œ — x') dx -h {y — y') dy -^ {z — z') dz].
On aura de même, pour le travail élémentaire de la force M'A', dont les composantes X', Y', Z' sont égales et opposées à X, Y, Z :
X'dx'+Y'dy' +Z'dz'
= mm' ^ [{X — x') dx' + (y — y') dy' + {z—z') dz'].
En ajoutant, on aura pour le travail élémentaire de Faction mutuelle des deux points matériels :
mm' ^ [{x — X') {dx - dx') + (y — y') dy — dy')
-i- (z--'Z'){dZ''dz% ce qui, en vertu des relations :
rdr = (.r — x') {dx — dx') -^ (jy — y') {dy — dy')
