V r(X^x' 4- Ydy H- Zdj
où X, Y, Z ne doivent plus représenter (jue les composantes des forces extérieures.
On voit la différence entre ce théorème des forces vives et le principe du mouvement du centre de gravité ou celui des aires; il n'élimine pas les forces intérieures. Ces forces intérieures disparaîtront dans le cas où les distances mutuelles fies divers points du système vérifieront Téquation :
2 wm' d> (r) — 2 *'*''*' "^ i^o) = Ot
pendant le temps considéré. Cela aura lieu, en particulier pour les corps solides, dans lesquels on considère les distances entre les molécules comme constantes, quand on néglige les déformations. Dans ce cas, on voit qu'on a ce théorème :
La variation, pendant un temps donné, de la somme des forces vives des divers points matéinels du système est égale à la somme des travaux des forces extérieures qui agissent sûr les divers points du système, pendant le même temps.
Ce théorème trouve son application dans les machines, où les circonstances qui permettent son emploi sont à peu près réalisées.
Dans le cas où les forces extérieures sont nulles, l'équation (3) donne :
DY?ÎAMIQUE. d39
Ce que l'on peut écrire, en remarquant que Q^mm' tS^{r) est
une fonction des coordonnées des divers points du système, et désignant par C une constante arbitraire :
/dx^ rf?/' dz*\ „ , , , ,
C'est là une intégrale du problème. — Ce cas est réalisé dans le système planétaire. En réduisant chaque corps céleste à son centre de gravité, on a :
La somme dès travaux des forces, qui sont toutes intérieures, sera : f.-—^-^^ en faisant abstraction d'une constante,
et Ton aura, en considérant les vitesses absolues des centres de gravité du Soleil et des diverses planètes :
Revenons au cas général, où les forces extérieures ne sont pas nulles ; supposons que l'expression
22(Xrfj- + Yrfy + Zrfj)
Boit la différentielle d'une fonction de a?, !/, ^, a?', i/', z', ..., c'est ce qui arrivera lorsque les forces extérieures seront constamment dirigées vers des centres fixes, leurs intensités étant fonction seulement de la distance, ou quand ce seront des forces perpendiculaires à un plan fixe, ou à une droite fixe, les intensités ne dépendant que des distances des points d'application à ce plan, ou à cette droite. On aura alors :
^^Jç^dx 4- \dy -f Idz) =Jd,^ {X, y, z, x\ y\ z\ ...) = <I> (a-, y, z, x\ y', z', ...) — ^(a:., y,, z„ x\, y\, z\, ...),
et au lieu de Téquation (3) :
Imv' — Imr,' = 2 [^ mm' 6 (r) — ^mm' •}] (r^)
+ 2 [a» (:r, .y, :r, ...) - c^ (a?„ y^, ^r^, ...)], ou bien, en faisant :
(5) Swit;' — iwro'
= 2 [^' (J-, y, -, 0?', y', ::,...) — U- (Xo, yoi -o> -^^'oi y'o» -'o. .••)],
ou bien :
(6) Zmv^ = 2 U' (J^, y, z, x\ y\ z\ .-..) 4- C.
Dans ce cas, qui se présente souvent, le théorème des forces vives donne donc une intégrale, l'intégrale des forces vives.
Quand la somme des travaux de toutes les forces, tant intérieures qu'extérieures, est constamment nulle, la force vive reste constante pendant toute la durée du mouvement; le système conserve sa force vive, et on a, dans ce cas particulier, le principe de la conservation des forces vives.
Il existe une relation très simple entre la force vive du mouvement d'un système par rapport à des axes fixes, et celle de son mouvement relatif par rapport à son centre de gi'avité. Menons en effet par ce centre de gravité des axeî^s parallèles aux axes fixes; soient a?, y, z les coordonnées d'un point quelconque M du système par rapport aux axes fixes, 5, t;, C les coordonnées du même point par rapport aux nouveaux axes qui sont mobiles, a?„ j/j, z, les coordonnées du centre de gravité du système par rapport aux axes fixes. On aura :
dx (/.r, ^/; (ly (ly, (Ir,^ dz dz^ dZ
Jï ^ Tt '^ Tt' dt~'di'^'lt'' Tt'^Tt'^dt' 5 dx!" -\- dy^ -H dz- dx,^ -H dy,^ -\- dz,^ ^' "" (ï? "" dt^
dx, dl dy, dr, dz, dX\ dV -¥ dr,^ -h dV
\dt dt dt dt dt dt)
dV
On en conclut, en désignant par V la vitesse du centre de gravité, par w la vitesse du point M dans le mouvement relatif, autour du centre de gravité :
\(lt dt lit dt dt dt)
En multipliant par m, et faisant la somme des équations analogues qui correspondent à tous les points du système,
d OP
on aura, en remarquant qu'à un moment donné, V, -rjy Tf' "di ^^^^ '^^ mêmes pour tous les points du système :
^ « tr. «^ « • ^ à'fx ,, dS rx dy* ^, dfï
Ztnv* = V* Zm + Imu^ + 2 , ' Sm 77 + 2 -37 :s m —*
dt dt dt •dt
Or, Torigine des coordonnées ;, y;, ;, étant au centre de gravité du système, on a constamment :
d'où :
^"^dt-^' -''^d^"""' -"*rff-"-
11 en résulte donc :
(7) lmv^ = \*lm 4- lmu\
Ainsi, on a le théorème suivant :
La force vive totale d'un système est égale à la force vive de la masse entière concentrée au centre de gravité, plus la force vive de ce système, dans son mouvement relatif autour du centre de gravité,
10. Application de Tintégrale des forces vives au système planétaire. — Nous réduirons le Soleil et les planètes à leurs centres de gravité, négligeant ainsi les forces vives nj-ovenant de la rotation de ces cori)s sur eux-mêmes (ou
plutôt, les variations de ces forces vives) ; nous aurons, en désignant d'une manière générale par v la vitesge absolue du point M dont la masse est m, par Xj la distance mutuelle des points M^ et Mj, dont les masses sont m. et m :
(i) Imt' = ifl '-^ -+- Const.
Considéi pus maintenant le mouvement relatif du système autour de son centre de gravité ; soient V la vitesse absolue ' du centre de gravie, u la vitesse relative du point M, M la masse totale du système ; on aura :
et réquation (1) deviendm :
(i) UV 4- Imn' = ifl -'''*- 4- Const.
(3) V = fZ ^
Or, la vitesse V est constante ; si donc, on pose
friiinj
réquation (2) donnera, en désignant par C une constante arbitraire :
(4) Imn'- = 21J -i- C.
Convenons maintenant que M désigne le Soleil, dont les coordonnées rapportées aux axes mobiles, de directions invariables passant par le centre de gravité, soient x^ y^ z; soient a;,, j/,, z. les coordonnées correspondantes d'une planète quelconque. L'équation (4) deviendra, en mettant à part ce qui se mpporte au Soleil :
^•'-> ''* d? "*■ -^''' dï' - 2U -i- C.
liu opérant comme au n° (7), nous poserons :
On voit que ;,, vjf, Ç, seront le» coordonnéeiJ de la planète M,, l'apportées à des axes parallèles aux axes fixes, et ayant leur origine au centre du Soleil. On trouvera aisément que réquulion (5) devient, en ayant éj^ard à (6) :
. , dx* -f- rfw* -*- (Iz^ ,^ dx ,, dii ^ dit ^, drt
Or on a :
(m 4- i?Wi) !/ = — -///./., {m + lm)z = — im/;.
On portera ces valeurs de x^ y, z, et les valeurs correspon-
d X du d ^ dautes de t-.^ -j-^ -j dans le premier membre de l'équation
(7) qui deviendra :
d5** + àr,? + dX^*
liHi
-irï^i(-'S)'-(--^y-*ë)*
en mettant à part dans Texpression (3) de U les distances des planètes au Soleil, on aura, en désignant par r. la distance de la planète au Soleil :
où les signes S s*étendent seulement aux planètes, et à leurs combinaisons deux à deux, le Soleil étant mis à part; linaleinent, Téquation (7) deviendra :
Telle est la forme qui prend Tintégrale des forces vives dans le système planétaire, quand on rapporte les mouvements des planètes au centre du Soleil.
On peut transformer cette équation (A) en multipliant ses deux membres par m + S m,; le premier membre devient, comme on s'en assure aisément :
m 1,/,, + (im,) 1 w. -^, :
m* trti
(If
9y«. ... {dXiil.rj dpidyi dZidzA
On trouve finalement, au lieu de la forme (A), la suivante :
''-''^ dt^
(B) + ^m^mj ^^
11. Digression sur rapplication du principe des forces vives au système du monde . — Commençons par donner, sous une forme simple, les équations des mouvements des divers points qui remplacent le Soleil et les planètes ; nous aurons, en conservant les notations précédentes, et traitant le Soleil comme Tune quelconque des planètes, afin de ne pas altérer la symétrie :
(/^r, fniiWj Xj — .r,
et deux autres équations analogues, en remplaçant x par y, puis par z; voila pour le mouvement du point M.. Or, on a :
l\j = {Xi - xjf + (y,- — fjjY + {Zi — ZjY,
d'où, en prenant les dérivées partielles par rapport à Xi :
ce qui permettra d'écrire l'équation (1) comme il suit :
ou bien :
^ ' dt' ■" l\j dXi
dr dXi
ou encore :
Dans le second membre de cette équation, sous le signe 2, t doit rester constant, et j prendre les valeurs qui correspondent à tous les autres points, Mf i, M,„ ...; M. + i, tAi^ , ...; on peut, si l'on veut, faire vaiîer aussi l'indice i, car les termes ainsi introduits dans le signe S ne contiendront pas la coordonnée Xi de la planète considérée spécialement ; si donc on pose
(3) V = fl ^,
où i et j prennent chacun, et indépendamment l'un de l'autre, les valeurs 1 , 2, . . . n, n désignant le nombre des corps, sans que l'on ait jamais i =j\ on déduira de (1) les équations suivantes, pour le mouvement de la planète M. :
d^Xi dV
dt' dXi
fiL\ 1 d^iji rfU
dt* dtfi
d^Zi d\}
lYl- ZZZ •
' df dz.
Despeyhols. — Mécanique. II. 10
En donnant à i dans ces équations (4) les valeurs i, 2, ..., n, U étant une fonction de x^, a:,, ..., rr»; j/„ î/,, .--, y«; z^, z„ ..., r,„ définie par Téquation (3), on obtiendra les 3n équations dinerenlielles <Ju mouvement des n corps considérés; U est la fonction des forces.
On déduit de (4; la combinaison suivante :
•n d? )=^\n.'^^'^d^/^^'^dl/'r
en donnant à i les valeurs 4, 2, ..., n, et faisant la somme des équations ainsi obtenues, on trouvera :
dx;- -h dfji' -h dZi' ^^, /dU . d\] , dV ^ \ dt^ \dXi' dyi ^ dZi /
Or, la fonction U ne contenant pas le temps explicitement, on a :
dU = 2: ( -T— dXi 4- . - dy. -+- . dj» )• \d,/\ dyi •" dJ, /
On déduira donc de (5) en inté{?rant, et désignant par h une constante arbitraire :
or
Or, on tire des équations (4), et des autres qui correspondent aux autres corps du système :
/ d'^Xi d^yi d'jA ^ ( d\} dU dU\
Mais la fonction U est, en vertu de sa définition même (3), une fonction homogène de degré — 1 des quantités a?,, y,-, z.-; un théorème connu, relatif aux fonctions homogènes, donne :
v,/ rfU dU dU\ ,,
\ dXi "^ dyi dZiJ
et l'équation (7) devient :
/ d^Xi d^Vi d^Zi\ .,
En combinant cette équation avec (6), on trouve :
Soit Ti la distance du point M, à l'origine des coordonnées, on a :
r? = Xi* -i- y*' -f- 2;.*, i d (n*) da?. dpi dZi
i d* fr,*) diTi* H- d.v.' -h dZi* d^Xi d^t/i d^Zi
2~7^ = tt^ -^"^'-dr^-^^'-dF-^''!^'
et l'équation (8) peut s'écrire :
(9) d'^^^2îlL = i\] ^kh.
On peut transformer cette équation de manière à y introduire les distances mutuelles A,;^ au lieu des distances r,,>; on a les identités :
' Inii IniiX? — ÇLmiX^'^ = imimj {Xi* 4- x/ — iXiXj),
(10) iMi iTHiVi' — (2:m.y.)' = 2w,m, (y,* 4- y/ — 2y.y,), [ IniiZmiZt^ -—{ImiZif* =2Wi?//j(z,* 4- z/ —iZiZ,);
au reste :
A\j= (Xi* + a;/ — 2a?.- Xj) 4- (y,* 4- y/ — 2y.y,) 4- {zt* 4- z/'-2ZiZj). En ajoutant les trois équations (40), on aura donc en faisant
(H) MSrnir,» — [(2m,a?.)' 4- (2m.y.)» 4- (Sm,-.)'] = ^^W/W, A'.-,-. Soient Ç, r<, Ç les coordonnées du centre de gravité du
système ; on a :
On sait qu'en désignant par a, 3, y> «', 3', ï' six constantes arbitraires, on a :
