CHAPITRE II
APPLICATIONS DES THfiORËMES GÉNÉRAUX.
12. 1®' Problème. — Deux points matériels M et M', de masses m et m', réunis par une tige rigide ^ de longueur invariable, dont on néglige la masse, sont assujettis à se mouvoir dans un plan horizontal; on demande d'étudier leur mouvement.
Le principe du mouvement du centre de gravité montre que le centre de gravité est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme.
Prenons pour axe des x la position de la tige pour f = 0, pour origine la position G^ du centre de gravité à cette époque.
Puisqu'il n'y a pas de forces extérieures au système, le centre de gravité décrira unedroite Go G, d'un mouvement uniforme :
^^ Soif G sa position à l'époque t] soient G^^x et Goî/ deux axes rectangulaires situés dans le plan du mouf • 209 vement, G 5 et G y; deux axes
parallèles aux précédents, M et M' les positions des deux points à l'époque f, 9 rangle MGE. •
Le principe des aires aura lieu dans le mouvement relatif, autour du centre de gravité; soient sur GÇ,-Mo et M\ les positions initiales des deux points; le rayon vecteur du point M aura décrit le secteur circulaire M^GM, d'aire œ; de même celui du point M' aura décrit le secteur M'^GM', d'aire a' ; en posant
r = GM; r'=GM', on aura :
Soit G une constante arbitraii^e ; l'application du principe des aires donnera :
mer + m'd' = Cf, ou bien,
-(mr«-h m'r'»)9 = Cr,
r et r' sont constants; soit donc 3 une nouvelle constante arbitraire ; on aura : ,
Ainsi, le centré de gravité G des deux points M et M' se meut sur la droite Go G d'un mouvement uniforme, et cette droite MM' tourne d'un mouvement uniforme autour du point G; par là, le mouvement de la droite MM' est entièrement déterminé; on aura ensuite les positions des points M et M' eux-mêmes, en tenant compte des formules
GM = r= ^' , /, m -+- w'
GM'=r'=— ^;,
dans lesquelles { désigne la longueur de la tige, enveloppe de la droite MM'.
Soient (fig, 2i0) G et G, les positions du point G aux époques É et < + Af, G M et GiMi les positions correspondantes de la tige; l'angle MGA varie proportionnellement au temps; on aura donc, en désignant par a, w et Wj trois constantes :
GoG = at, MGA = (ùt -¥■ ti),.
Soit H le point d'intersection de GM et G,M„ on aum:
GG, = a (^ 4- AO, MiGjA=a)(^-HAO+o)i,
d'où:
( 6G, = aAf,
Le triangle G G, H donne :
HGj = GG,
sin ((i)^ 4- (I),) sin H
Soit I la limite du point H lorsque \t tend vers zéro, l'équation précédente donne :
ce
IG = lim. HG| = sin (w^ + (I),) lim. ' *
ou, en tenant compte de (1) :
IG = - sin {(àt + (I),),
ou bien, en posant - = a :
(2) IG = a sin MGA.
Élevons au point I la perpendiculaire à G H, et au point G
la perpendiculaire à GA; soit K le point de rencontre de ces droites; Tenveloppe demandée sera le lieu du point I, et IK sera la normale à cette courbe. Le triangle rectangle Kl G donne : *
sinMGA ou, en tenant compte de (2) :
On en conclut que le cercle décrit sur KG comme diamètre a un diamètre constant a, et Fenveloppe cherchée est la cycloïde décrjte par un point de ce cercle roulant sans glisser sur la droite Go G.
13. 2® Problème. — On donne deux droites rectangulaires Ox et Oy; deux points matériels M et M' de masses m et m', réunis par un fil MM' de longueur invariable l;
Yu] 2\\
le point M est assujetti à se mouvoir sur Ox; étudier le mouvement. — Le point M est soumis à la tension MA = T
et à la réaction normale N de la droite Ox; le point M' à la tension M'A' = T. Les équations du mouvement seront, en posant OM = a?, et désignant par x' et y' les coordonnées du point M' :
p = {x' ^xy-hy"; puisque Vy du point M reste constamment nul, on a :
0 = T^ — N, d'où N=:tÇ
Mais ces équations ne nous sont pas nécessaires pour déterminer le mouvement.
Appliquons en effet le principe du mouvement du centre de gravité, seulement pour Ox] nous éliminerons les tensions ; N n'intervient pas ; donc on a :
d^x , d*x' d'où, en intégrant :
Le principe des forces vives nous donne, en remarquant
que la force N étant normale au déplacement du point M
donne un travail égal à zéro, et qu'il en est de même do la
somme des travaux des tensions T appliquées en M et M',
parce que la distance MM' est invariable :
wt* 4- w't»'* = C,
ou bien :
,' dx' , dx'* + dy'* „
Ces équations (2) et (3) pourraient d'ailleurs être tirées des équations (4). Pour, déduire de ces équations les lois du mouvement, remarquons que Ton a :
,. . ( a?' = a? 4- J cos G,
^^ (y'= /sine,
(2) et (3) vont devenir :
, /dx , . ^ db\ ^,
dx , /dx . . .do m -I- + m' at
dx^ Sdx^ „de' ^,dx . ^(lon ^
On en tire :
. C + w'/sin 0 —
,B.v flj? fl^
dt m 4- w'
, . ^ + m' / sin ô — I
-^'^^ Âli r T, (C + m' / sm e — ) = C,
dû'
C" + (m"/' cos' 0 + mm' /») ;t^ = (m + m') C, rfO
/ !îr (/,»'« cos' e + fnm' = |/(f» + m')C — C".
d8 Soit (I) la valeur initiale de -r- ' répondant à ô = ô,, on aura :
,. de (I) Km -f- m' ces' Bo , ,• ï ttt
(6) — = -\ lût Vm + w' cos* 0|
^^ Kw 4- w' cos' 8
= / Km + m' cos' ede;
l'expression de t en fonction de 0 dépend des intégrales elliptiques.
0 pourra prendre toutes les valeurs possibles, car le
' radical Km -+- m' cos' ô est toujours réel.
Pour trouver x en fonction de f , remarquons qu'on déduit de (2) et de (4), en appelant C\ une nouvelle constante arbitraire :
mx -i- m'x' =C'/ + C„ (i» + m') a? = C ^ 4- C, — m' / cos ô,
d*où l'on déduirait x en fonction de t en remplaçant 0 par sa valeur en t, conclue de Téqualion (6).
Courbe décrite par le point M'. — De (2) et (5) on tire :
(m -h m') --j-- = — ml sin 0 ^r + C', ai ai
d'où, en remplaçant dt par sa valeur tirée de (6) :
,, , , , , . C Km 4- w' cos» 0 de (m ■+■ m ) dx' — tnl rf.cos ô = >
(0 Km -+- vi' cos* % ! (m + m') (j?' — 0?,') — ml cos ô
) = — (Vm + m' cos' 6 dO,
i (I) Km H- m' cos» Oo*^
\ y' = l sin ô.
Ces deux équations font connaître x' et y' en fonction de la variable auxiliaire 0 et par suite donnent la trajectoire cherchée.
Cas particulier : C/ = 0. — On a alors :
(m 4- m') {x^ — xl) = ml cos 6, my' = m/ sin 0,
(m + m') (0?' — xy + m»y'» = m»/»,
ce qui est Téquation d'une ellipse dont les axes sont paral- ^ lèles aux axes de coordonnées.
On aurait pu voir à priori que le point M' doit décrire une ellipse; soit en effet G le centre de gravité du système des deux points M et M' ; désignons son abscisse par x^* on aura :
{m H- m') a?, = mx + m' x\
Donc :
, ,. dx^ dx f dx -, ^
at ai at
dXt ^ r, ^
—1 = 0, a?, = Const.
Ainsi le centre de gravité G ne doit pas sortir de 0,y, parallèle à Oj/; donc la droite MM' a deux de ses points G et M assujettis à se mouvoir sur deux droites rectangulaires OiX et 0,j/,; donc un quelconque de ses points, M' par exemple, décrit une ellipse.
