Problème

— M et M ' sont deux points matériels pesants, de inasses m et m'y assujettis le premier à rester sur le plan horizontal cjcOy, le second, sur la verticale Oz; ces deux

Despeyrous. — Mécanique. H. 11

i&2 COUllS DE MÉGANIQUE.

'points sont réunis par* un fil inextensible de longueur l, qui passe sur une petite poulie placée en 0. Étudier le mouvement de ces deux points.

J)ési^noiis par

iî^, y. r, 0

les coordonnées rectangulaires et polaires de M. Posons :

En désignant encore par T la tension du lil, le point M sera soumis à la tension T, à la réaction normale du plan xOy et à son poids, et pourra être considéré comme libre; il en sera de même du point M' qui sera soumis aux forces M'A' = T et M'P = m' g\ on aura donc, pour déterminer le mouvement des points M et M', les équations suivantes :

dt^ r

iPy __ y

m jZ — — 1 -'

On déduit de ces équations l'intégrale des forces vives

dx* -h di/ , dz , a I t

m — i— ^ + ^» j.r = const. -h ini'gz',

dv ar

ou bien :

dr^ -h r» (/O* , dr^ ^, ^ , (2) m - - ^-^^- - + m' -- - = C - 2 w' gr.

Le point M étant soumis à l'action d'une force centrale, on a rintégrale des aires :

(2) et (3) donnent la solution du problème. On en déduit sans peine :

(4) rfO = ± G ]/ni + m' ^''

r Kr(r)

rdr

(5) (It = ± y m ^- m' — =:,

yf{r) en faisant :

(6) f{r) = r» (C - 2m' gr) — wG».

On est conduit à des intégrales elliptiques.

Détermination des constantes C et G'. — Soient r^ le rayon vecteur initial, v^ la vitesse initiale, r^^ l'angle que fait cette vitesse avec le i)rolongenient de r<,; on a :

Les formules (2) et (3) donneront :

çj. ( G =rot'oSinr,o,

^ ^ 1 C' = 2?w'(/ro -h Tq' (m -f- m' cos'yjo).

On pourr'a écrire :

Discussion. — On a :

/(-oo)>0: A0)<0; Aro) > 0; r(+a))<0.

Donc, l'équation f{r) = 0, qui est du 3® degré, a ses trois i-acines réelles, deux a et (3 positives, une — y négative. On aura :

= ±cy/'-

. « - , m + m' rdr

2m'.7 l/(r — fi) (a — r)"(r 4- v)

- , W4- m' rdr

al

im'g i/(^ p) (3j ^) (^ ^, .^)

La courbe décrite par le point M est comprise tout entière entre les cercles r = g et r = a, qu'elle touche aux points où elle les rencontre.

Pour que le mobile M' ne passe pas par-dessus la poulie, on devra avoir { — a > 0; alors, ;:' restera compris entre ï — a et i + p. .

Condition pour que le mobile M décrive un cercle. — On

devra avoir :

f(r,) = 0, r (ro) = 0.

Or:

f (^) = *'o* ('>* + wi' cos' y;o) — m'gr^,

2ro

d'où :

gro;

telles sont les conditions cherchées.

Calcul de T. — On déduit de (1) :

dr- + r«(?0-

— 2 1 T(/r = wi r* = m j-^ = G

J dr

— | (C' — âm'ar) r- -.

^jTdr^-,

G'mm' wG' 2wii»'f7r

d'où en différentiant :

— 2C'mm' 2mm' g

"" îw 4- m' |j r* J

18. 5® Problème. — Moxivemcnl cVimc chaîne pesante et homogène, suspendue sur le bord d'im pian horizoïital, —

^ Soit p lu musse de Tunité de lonj f(ueur de la chaîne, l sa longueur.

''^ Posons :

OA = x, 08 = / — 0?.

^ A un moment donné, tous les points de la chaîne ont la même

vitesse -77; donc :

at

Fia

dx^ ^ , (Ix^

En désignant par X la force qui agit sur un élément de la chaîne, on aura par le principe de Téquivalence de la force vive et du travail l'équation :

^d.lmv^=^ Kdx.

Or on a ici :

X = gdiUj

V Xdx = dx Zgdm = gdx 1dm,

^dm s'étend à la partie OA; donc :

"Idm = px^ et l'on a :

pldx -.^ = gpxdx.

dt' d\v

dr ~/'''

d'où, en intégrant, et désignant par A et B deux constantes arbitraires :

Ax Supposons que, pour f = 0, x = x^ et ^ = 0, c'est à

dire que la chaîne soit abandonnée sans vitesse initiale; on déterminera aisément A et B, et on trouvera : .

(2) ' a. = ft'l/"TH.,-<K'^).

Remarque. — Pour la partie OB, les réactions du plan et les poids ne donnent pas de travail.

Tension de la chaîne. — Proposons-nous de calculer la tension T en un point N de la partie AO; posons AN -- a. Si Ton coupe la chaîne en N, on pourra remplacer la partie supérieure par la tension T; on peut alors appliquer le principe des forces vives à la portion AN, ce qui donne réquation :

d'où

En remplaçant -j^ par sa valeur (i), il vient :

Pour calculer la tension en un point M de la partie OB, posons :

Si Ton coupe la chaîne en M, on pourra remplacer l'action

de la partie inférieure par la tension T', et appliquer le principe des forces vives à la partie MB; on aura :

Les formules (2) et (3) s'accordent à donner :

pour la tension en 0; cette tension est maxima pour x = 3; elle a alors pour valeur /yp t-

19. 6® Problème. — Deux points matériels M et M', de masses m et m' sont attirés, proportionnellement à la distance, par un point fixe 0; ils sont réunis par une titje rigide et inflexible, de longueur l, dont on néglige la masse. Le point M est assujetti à se mouvoir sur une droite fixe Ox. — Étudier le mouvement supposé avoir lieu dans un plan.

Désignons par n* la constante d'attraction ; soient T la tension de la tige, N la réaction normale de la droite Ox\ le point M sera soumis à l'action des forces MA = mn*. OM, TVf B = T et N; le point M' sera soumis à l'action des forces M'A' = m'n\ OiVl' et M'B' = T'; soient OM = x, et x' et y' les coordonnées de M', les équations du mouvement des deux points seront :

m -T-, = — mirx f- T — -^

dr l

(i) dV

On tire de là :

„ {mx -f- in'x') , , , ,.

d' ^^ ^-5 = — M* {mx -h m'x'),

ou, en faisant :

(2) mx H- m'x' = (m 4- m') X,.

dt

X est, comme on voit, l'abscisse du centre de gravité de Met M'.

Le théorème des forces vives donne ensuite, en remarquant Fin. 216 <^iue le travail de N est nul, et

qu'il en est de même de la

somme des travaux des tensions appliquées en M et M',

parce que la longueur MM' est invariable :

(4) ^^jjï -^^ , , = C — n» [mx^ h- w' (a?" -h y'*)],

où C désigne une constante arbitraire ; nous ferons :

De (2) et (5) on tire :

wi + m

L'é(iuation (4) donnera :

dX dt

du )' m H- m' d7 )

( ff^ m H- m dt

En réduisant, on trouve :

L'é^iuation (3) donne en intégrant, et désignant par A et B deux constantes arbitraires :

(8) X = A cos 7<M- B sin n/, on a aussi :

(9) M = /cosO, y' = /sinO;

en tenant compte de (8) et de (9), (7) devient :

»• {m -f- m!) (A« -h B*) h- ^^*' , /» ) sin* 0 ^! -H n' cos» 0

-H mT i ces' e -j-^ -f- n» sin» 0 [ = G, d'où. :

> f/i sin» e -f (m 4- iw') cos» 0 f + 7i» | m cos» 6 4- (m H- w') sin» 0 î

= Cj n»m + w»m,

rfO» __ C, w — m' sin» 0 w»</£» ~ m -h ?/*' cos»0

et par conséquent :

^ j. ■ /m cos» 0 -4- m , /\^ . /m' cos» 0 -t- m

riO^ ndt= ±d(i\/ — — -; nt = \dO\/ — ^- -^

l^iu; '€^ y ^^1 ^Qj.t (3 ^, H J y m' cos» 0 -4- H

H désignant une nouvelle constante arbitraire. On aura ensuite :

/iâ\ x = k COS. Ht H- B sin, Ht : / cos 6,

170 COUUS DE MÉCANIQUE.

(12) a;' = A cos nt -h B s\n. ni h r / sîn 0,

f» 4- wi

(13) y' = / sin 0.

Les formules (10), (41), (12), (13) résolvent complètement le problème, qui dépend, dans le cas {général, d*inlégrales elliptiques; lorsque II =^ 0, on peut effectuer la quadrature (10) sous forme finie.