THÉORIE DES MOMENTS D'INERTIE

20. Consirlérons un coi*ps solide. Soient, relativement à trois axes rectangulaires fixes, x, y, z les coordonnées d'un point quelconque M de ce corps, dm un élément de masse dont M est le centre; on est conduit en Dynamique à la considération des intégrales suivantes, qui s'étendent à tonte la masse dir corps :

(i) • I X dm, I y dm, j z dm,

(2) I yz dm, l za> dm, l xy dm,

(3) 1 0?* dm, l y' dm, l z* dm.

Soient a;,, y^, c, les coordonnées du centre de gravité, M la masse totale du corps ; on a :

j X dm=: Mu?,: j y dm =: My, ; j z dm = Mr,.

De sorte que, si Toi'igine est au centre de gravité du corps,

les trois intégrales (1) seront nulles.

Nous montrerons ([ue, Torigine 0 ayant une position déterminée par rapport au corps, on i)out toujours déterminer la direction des trois axes Ox, Oy, Or, de manière que les trois intégrales (2) soient nulles. Ouant aux trois

intégi'ales (3), si Ton pose :

on aura ;

2 fx* dm = B -f- C — A,

(5) sfy* dw=:G 4- A — B,

2 A» dm = X + B— G.

On sera donc ramené au calcul des quantités A, B, G. On api)ellc, en général, moment d'inertie d'un corps par

rapport à une droite quelconcpie la somme 1 p'drn, p désignant la distance de Télément dm à la droite considérée, et la sonnne s'étendant à toute la masse du corps. Ainsi, A est le moment d'inertie du corps par rapport à Taxe Ox, B et G par rapport à Oy et Oc.

21. Détermination des moments d'inertie. — Cette détermination revient à un j)rol)leme de calcul intégral.

1^ Un des exemples les plus simples est celui du moment d'inertie d'un j)arallélipiprcle rectangle homogène, par rapport à Tune de ses artMes.

Prenons pour axes O.r, 0//, Or, trois arêtes contiguës, dont les longueurs soient a, fe, c; on aura :

A =Yf 4- -J) dm = p j j[^ (//' 4- ;:') dx dy dz

I (y' -h 3*j dy dz,

0 Jo

j'\y^ + -') dz = c (y» +1').

donc

A = p aoc • — - — y

ou en désignant par M la masse du paraÙélipipède : A = M g — ; B = M- — ^ — ; C = M

2^ Moment d'inertie d'une sphère homogène par rapport à mi de ses diamètres. — Rapportons la sphère à trois axes rectangulaires Ox^ Oy, Oz passant par son centre. Nous aurons :

A =J{y* -*- 2*) dm; B =j{z^ -*- x') dm; C = f{x^ + y») dm,

d'où :

A + B -f- C = iC{pô^ + y' + 2») dm.

La symétrie montre qiie A = B = G ; donc :

A = ^ I (a?* -h y' H- z*) dm = jz / r* rfm,

en posant :

Prenons pour élément de volume une couche sphérique comprise entre les rayons retr + dr; nous aurons :

dm = 4zpr' dr,

p désignant la densité de la sphère :

. 8rp n 8^pR» 4 , 2R« ^ = Vi '^^^ = -l|- = -3"?^ -5-'

OÙ R représente le rayon de la sphère. Donc :