MR
3"" Moments d'inertie d'un ellipsoïde homogène, par rapport à ses trois axes de figure.
(1) A = Jcît» -H z') dm = pfffiy' H- s*) dœ dy dz,
les intégrations s'étendent à tous les points intérieurs à la surface, qui a ici pour équation :
Xy j/, z désignant les coordonnées d'un point quelconque N, faisons-lui correspondre un point N' {x\ y\ z'), par les formules :
(3) x = ax'; y = by' ; z = cz';
à l'élément de volume dv=r dx dy dz, répondra l'élément de volume dv' = dx' dy' dz' \ les formules (3) donneront :
dv=:abcdv';
à l'ellipsoïde (2) répondra la sphère :
et nous aurons :
dm = pdv = pabcdv' ;
la formule (1) donnera :
(4) -^^ A = 6»|i'* dv' 4- c* p" dv'.
Les intégrations s'étendent maintenant à tous les points intérieurs à la sphère :
de rayon 1.
On aura :
fx'* dv' =Çy'* dv' =Çz'Hv' — ^ fcr" + y" + ;'*) rfp'
dv' =4rr"rfr',
Çr'^dv' =kr. fr^dr' =1'; donc :
La formule (4) donnera ensuite :
A = afcc (ft* -H c') ,- , ^p = ô -«frcp - — »
OU bien, en désignant par M la masse de l'ellipsoïde :
fl'
fl'
22. Corps homogène terminé par une surface de révo-' lution. — Le moment d'inertie d'un corps homogène se réduit à une seule quadrature, quand ce corps est terminé par une surface de révolution, et qu'on prend le moment par rapport à l'axe de figure.
Considérons un corps terminé par la surface engendrée par la révolution de la ligne CD autour de Oo;. Posons :
0? = x, 0?'=x + dx, AP = r, BP =r + rfr.
Le volume engendré par le rectangle ABA'B' tournant autour de Ox est :
zdx I (r -h dry — r* | = 2z dx.r dr,
son moment d'inertie relativement à Ox est :
izp ix.r dr X r» = 2xp dx r* dr.
Il faut intégrer de P en M, c'est-à-dire de r = 0 à r = y, y désignant l'ordonnée PM; on aura ainsi :
^ dx y».
On aura donc :
y' dx; y = f{x).
9* où î/ doit être remplacé par
l'ordonnée f{x) de la courbe méridienne et où a et g désignent les limites entre lesquelles x est compris.
23. Comparaison des moments d'inertie d'un môme corps par rapport à deux axes parallèles. — 1° L'un passe par le
centre de gi^avité du corps.
On connaît le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe Gz passant pai' son centre de gravité G. On demande le moment d'inertie du même corps par rapport à un axe AB parallèle au premier.
Soient a, g, 0 les coordonnées du point A où la droite AB i>crce le plan x(\y;
Soient M un point quelconque du corps, xety ses coordonnées, MI = p sa distance à Taxe AB; MH = g sa distance à Oz; on aura :
p« = (a;-a)«4-(y-p)«, p« = 0?* -h y* — ioLX — 2Py -f- a* 4- 3%
î* = a?* 4- î^*, 2 mp' = 2 mq^ — 2a 2 ma? — 2? 2 wy + (a* -H g') 2w,
OU, en posant GA = a et remarquant que
Ztnx = 0, Imy = 0,
parce que l'origine coïncide avec le centre de gravité :
2m = M (masse du corps).
2/wp' = 2w5* 4- Ma'.
De là ce théorème : Le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe quelconque est égal au moment d'inertie par rapport à l'axe parallèle mené par le centre de gravité, augmenté du produit de la masse du corps par le carré de la distance des deux axes.
On en conclut que si Ton prend les moments d'inertie d'un corps par rapport à une série d'axes parallèles, on obtient le moment minimum lorsque Taxe passe par le centre de gravité.
2? Les axes sont quelconques à des distances a et a' du centre de gravité. — On a, d'après le théorème précédent :
2mp» = Zmq^ + Ma*,
Zmp'^=lmq^ 4- Ma'-,
v^ip'* = :imp- 4- M (a" — a*).
Telle est la relation qui existe entre les momcnls d'inertie,
DESPEVROf s. — Mécanûiue, H. "IS
Smp' et I,mp'* relatifs à deux axes parallèles distants de a et a' du centre de gravité.
Nous sommes ainsi ramenés à comparer les moments relatifs à deux axes qui passent par un même point, et pour cela nous allons d'abord chercher Texpression du moment d'inertie d'un corps, par rapport à un axe passant par l'origine.
