Soient M un point quelconque du corps, a?, y, z ses
coordonnées, MI sa disp tance à Taxe OP qui fait avec les axes coordonnées les angles a, 2^ P, Y. Nous aurons :
01 = 0? cos a -h y CCS ^ Fi(j. 219 + ^ cos Y,
p» = a?' 4- y' -*- s' — {x cos a H- y cos 3 4- 2 cos y)«,
p* = (a;' + y* H- 2') (cos* a + cos' g -f- cos' y)
— (a? cos a -4- y cos p H- z cos y)*»
p' =z cos' a (y' -h 2') -I- cos' p (2' + a;') + cos' y (^* + y")
— 2 cos p cos Y y^ — 2 cos Y cos a a?z — 2 cos a cos ^ ary,
d'où :
Zmp^ = cos' a 2m (y' -f- s') + cos' g 2m (2' 4- a?') + cos' Y 2m (a?' 4- y') — 2 cos p cos y 2my;2r — 2 cos y cos a Zmxz
— 2 cos P cos a Zma^y.
Posons :
A = 2m (y' 4- z'), D = 2myz, B = 2m (3' 4- x'), E = 2ma?z, C = 2m (a;' 4- y'), F = 2ma?y,
et nous aurons :
(1) 2mp" = A cos* a 4- B cos* ^ 4- C cos' y — 2 D cos ^ cos y
— 2 E cos a cos Y — 2 F cos a cos p.
Donc, pour trouver le moment d'inertie relativement à une droite quelconque passant par l'origine, il suffira de connaître les six constantes A, B, C, D, E, F. Remarquons que A, B, C sont les moments d'inertie du corps relativement aux axes Ox, Oj/, Oz.
25. Représentation géométrique de la variation du moment d'inertie, quand la droite tourne autour du point 0. — Sur OP portons une longueur :
et soient Ç, r„ Ç les coordonnées du point P ; on aura
^ cos a cos 3 ^ cos V
5 = ; TQ = — ==:; K =
Kilwp* yimp^ yzmp^
En tirant de là les valeurs de cos a, cos p, cos y, et les portant dans (1), il vient :
AÇ« -h BV + Çï» — 2 Dr;; - 2Ei;Ç - 2F Çtj = 1.
Le lieu des points P est donc une surface du second degré ayant le point 0 pour centre. Tous les rayons vecteurs de la surface sont finis; cette surface est donc un ellipsoïde. Poinsot l'a nommé ellipsoïde central des moments.
Si Ton avait pris pour axes de coordonnées les axes principaux de cet ellipsoïde, son équation eut été :
et on aurait eu :
180 COURSt DE MÉCANIQUE.
Ainsi, relativement à ces axes :
:Lmyz = 0; Z)nxz = 0; lmxy = 0.
Réciproquement, si ces quantités sont nulles, les axes Ox^Oy^Oz sont les axes de l'ellipsoïde . Si Ton a seulement :
Smyr = 0; I.Tnxz = 0,
il en résulte D = 0, E = 0; dans ce cas, Oz est un axe principal de l'ellipsoïde.
Définition. — Les axes principaux d'inertie sont les axes de Tellipsoïde central. Les quantités A, B, G, moments d'inertie relativement aux axes de cet ellipsoïde, sont dites les moments principaux d'inertie relativement au point O.
En général, Tellipsoïde admet un système d'axes principaux et un seul ; donc, en général en un point donné O, il existe un système d'axes rectangulaires Oo?, Oy, Oz et un seul, tel que, relativement à ces trois axes, on ait :
' ^myz=^Q; Zmxz=.Q; 2ma:y = 0.
Si l'ellipsoïde central est de ^évolution autour de Oz, il y a une infinité de systèmes d'axes principaux d'inertie; tous ces systèmes ont un axe commun Oz; deux droites rectangulaires quelconques OA et OB dans le plan a;Oi/, complètent l'un quelconque des systèmes.
Si l'ellipsoïde devient une sphère, un système d'axes rectangulaires quelconque OA, OB, OC est un système d'axes principaux.
Soit r la longueur interceptée sur une droite quelconque OA, entre le centre de l'ellipsoïde et sa surface; soit ^ le moment d'inertie du corps par rapport à la droite O A; on a, comme on l'a vu plus haut :
r = — » d ou [A = -î »
la variation du moment d'inertie est donc très nettement indiquée par la vaiiation de r, lorsque la droite 0 A tourne autour du point 0.
Si l'ellipsoïde est à trois axes inégaux, au plus petit axe répond le plus grand moment ; au plus grand axe répond le plus petit moment.
Quand l'ellipsoïde est de révolution autour de Oz, et aplati dans le sens de Oz, le moment C correspondant à Or est un maximum; tous les moments relatifs aux droites OA, 0 A' ... situées dans le plan xOy sont égaux entre eux, et leur valeur commune est le minimum des moments d'inertie relatifs au point 0.
Remarque I. — Les coefficients A, B, C ne peuvent pas être pris au hasard ; en effet, des formules :
A = 2m (y* + 3'); B = Im (2* + x^) ; C = Ivi {x^ H- y»),
on tire :
A + B — G = 22mz*.
Donc on doit avoir :
