ma7 = 0; 2my=iO; Zmz = Q

Posons OG = Z; menons Ox' et Oy' respectivement parallèles à Go; et Gy; désignons par a;', y', z' les coordonnées correspondantes k x^y^z et relatives aux nouveaux axes ; nous aurons :

d'où :

= Zmy {z I Imx {z zmxy = Zmxy.

zmy z Zmz'x'

l) = Zmyz — / Zmy, f) =2mza? — IZmx,

En tenant compte de (1) et (2), ces relations deviennent :

Zmy'z' =0; Imz'x' =0; Imx'y' =0,

ce qui prouve que Oz' ou Or, et 0.r', Oy' sont les axes principaux d'inertie du corps relativement au point 0.

2® Soient Ox, Oy, Oz les axes principaux relatifs à un point quelconque 0 du corps; prenons un second point 0'

svr Oz; 0' z est 'il un axe principal relativement au

point 0' 9

Menons 0' x', O'y' parallèles à Ox, Oy. On a:

On doit avoir :

lmyz=zO; Zmxz=zO.

Imy'ï =0; Imx'z' =0,

ou :

Imy {z — l) = 0; Zmx\z — /) = 0,

ou bien :

^myz — l Imy = 0; Zmzx — l Imx = 0;

d'où, en tenant compte de

Zmy = 0; 2:ma? = 0.

. Donc, Oz doit passer par le

centre de gravité ; dans ce cas, cette droite est un

jy axe principal pour tous ses

points.

Donc, si par un point de l'espace on mènQ une

Fig. 222

droite quelconque, il pourra se faire que cette droite ne soit un axe principal relativement à aucun de ses points, ou qu'elle le soit pour un de ses points, ou enfin qu'elle le soit pour deux de ses points, et alors elle passera nécessairement par le centre de gravité, et sera un axe principal d'inertie pour tous ses points.

Il n'existe donc en général que trois droites qui soient des axes principaux relativement à deux points de leur direction ; ces trois droites sont les axes principaux d'inertie relatifs au centre de gravité.

3« Un corps étant donné, peut-on trouver un point dé ce corps relativement auquel les trois moments d'inertie principaux soient égaux?

Soient 0 le point cherché, G le centre de gravité du corps; l'ellipsoïde principal pour le point 0 doit être une sphère; une droite quelconque passant par le point 0, OG par exemple, sera un axe principal d'inertie, relativement au point 0 et, par suite, relativement au point G; soient Go; eiGy les deux autres axes principaux d'inertie relativement à ce point G. Les axes principaux d'inertie par le point 0 seront Oz, Ox' parallèle àGx et Oif parallèle à Gi/.

Soient A, B, G les moments d'inertie par rapport à Go;, G y, Gz, les moments d'inertie relatifs à Ox\ Oj/' et Oz seront :