A H- M/«, B 4- MP, C

en désignant la distance OG par l.

On devra donc avoir :

Donc Tellipsoïde central relatif au point G doit être de révolution, et de plus il doit être aplati, auquel cas C — A est positif, et l réel. Il y aura donc dans ce cas deux points O et O' répondant à la question; ces points seront situés sur l'axe de révolution de l'ellipsoïde central relatif au centre de gravité, de part et d'autre de ce point, et à des distances égales à /.

27. Trouver les directions des axes principaux d'inertie en un point quelconque, et les grandeurs des moments d'inertie principaux. — Soient G le centre de gravité du

corps, A le point de ce corps pour lequel on cherche les axes principaux, AB l'un de ces axes, d sa distance au

point G, a, g, Y les angles que fait AB '^ avec les axes principaux relatifs au point G, X, y y z les coordonnées du point A rapportées à ces axes, H le f^^yj moment d'inertie correspondant au point A, relativement à la droite AB.

Nous aurons :

i^--'' / H = Acos'a +

^ ' ^-'^ / H = A cos' a + B CCS* p 4- C cos*Y 4- Md*,

"*'^ où A,B, G sont les moments d'inertie

Fiq 223 principaux du corps relativement au

point G ; en posant :

H==Mp«; A = Ma*; B=:M6«; C = Mc^

p, a, &, c sont ce que Ton nomme les rayons de gyration correspondant aux moments d'inertie H, A, B, C; il en résulte :

p* = a* cos* a 4- ft* ces' p 4- c* ces* y 4- d'; or, on a :

rf* = G A — GE = a?' 4- y* 4- 2* — (a? ces a 4- y ces ^ 4- -î cos y)*.

Posons encore :

r* = a;* 4- y* 4- 2*, et nous aurons :

p* = a} cos* a 4- fr* cos* ^ 4- c' cos* y 4- r*

— (a? cos a 4- y cos ^ 4- z ces y)', ou bien :

(1) p' = (rt* 4- r') cos' a 4 (&' 4- r') cos' p 4- (c* 4- r') cos* y

— (a? cos a 4- y cos ^ 4- 2 cos y)'.

Nous allons chercher les valeurs de a, g, y qwi rendent p* et par suite H un maximum ou un minimum, propriété

caractéristique des axes principaux relatifs au point A; nous obtiendrons ainsi les directions en A des axes principaux d'inertie. Avec (1) nous avons la relation :

(2) ces' a + CCS* P 4- CCS* Y = 1.

L'expression (1) de p* qui doit être maxima ou miniraa, est une fonction de trois variables a, 3, 7, liées entre elles par la relation (2) ; écrivons que dp* = 0, et différentions en même temps (2) ; il viendra :

(3) 0 = (a* + r') CCS a d.cos a + (6* -h r*) ces p d.cos ^

-f (c* 4- r') CCS Y d. CCS 7 — (a? cos a 4- y cos p 4- 2: cos y) (a? d.cos a 4- y .d ces 3 4- 1 d ces y),

(4) 0 = cos a d.cos a 4- cos 3 d.cos p 4- cos y d. cos y-

Formons la combinaison (3) — X(4), X désignant un facteur indéterminé, et annulons dans cette combinaison les coefficients de d cos a, d cos p, d cos yî nous aurons :

/ (a* 4- r* — X) cos X — a? (a? cos a 4- y cos 3 + ^ cos y),

(5) I (6* 4- r* — X) cos p = y (a? cos a 4- y cos p 4- 2 cos y), ( {c^ -h r^ — . X) cos Y = 2 {x cos a 4- y cos p 4- 5 cos y).

Multipliant les équations (5) respectivement par cos a, cos 3, cos Y et ajoutant, on trouve :

(a* 4- r') cos' a 4- (ft* 4- r') cos' 3 4- (c* 4- r') cos' y — ^

= {x cos a 4- y cos 3 4- ;: cos y)*»

ou bien, en tenant compte de (1) :

Les équations (5) donneront ensuite :

cos a = — r i (a? cos a 4- y cos 3 4- j cos y),

l rt* 4- r' — p' ./ r j/,

(5 *^) . cos 3 = jjr~:rz~^ ('^ ^^'^ a 4- y cos 3 4- s cos y),

, cos Y = -i i ; (iP cos a 4- y cos Z -h z cos y).

corps, A le point de ce corps pour lequel on cherche les axes principaux, AB l'un de ces axes, d sa distance au

point G, a, p, Y les angles que fait AB

/^ avec les axes principaux relatifs au

point G, X, ;/, z les coordonnées du

point A rapportées à ces axes, H le

f^^yj moment d'inertie correspondant au

point A, relativement à la droite AB.

, ^^ , Nous aurons :

où A,B, C sont les moments d'inertie principaux du corps relativement au point G ; en posant :

A CCS* a 4- B CCS* p 4- C cos* ^ 4- Md*,

Fig 223

p, a, b, c sont ce que l'on nomme les rayons de gyration correspondant aux moments d'inertie H, A, B, C; il en résulte :

p* = a* cos' a 4- 6' ces* p 4- c* ces* y 4- d*;

or, on a :

rf' = G A — GE = a?' 4- y* 4- 2' — {x ces a 4- y cos g 4- j ces y)*-

Posons encore :

et nous aurons :

p' = a' cos* X 4- />' cos* 3 4- r' cos* Y + ^^

— (a? cos a 4- y cos 3 4- s^ cos y)*, ou bien :

(1) p' = (rt* 4- r') cos' a 4 (&' 4- r*) cos' ^ 4- (c* 4- r-) cos* y

— (a? cos a 4- y cos g 4- z cos y)*.

Nous allons chercher les valeurs de a, g, y q^ii rendent p* et par suite H un maximum ou un minimum, propriété

caractéristique des axes principaux relatifs au point A; nous obtiendrons ainsi les directions en A des axes principaux d'inertie. Avec (1) nous avons la relation :

(2) CCS* a 4- CCS* P 4- CCS* Y = 1.

L'expression (1) de p* qui doit être maxima ou minima, est une fonction de trois variables a, p, 7, liées entre elles par la relation (2); écrivons que dp* = 0, et dilïérentions en même temps (2) ; il viendra :

(3) 0 = (a* 4- r') CCS a d.cos a 4- (6* 4- r*) ces ^ d.cos ^

4^ (c* 4- r') CCS Y d. CCS 7 — (a? CCS a 4- y CCS p 4- 2: cos v) (ayd.cos a 4- y.d cos 3 4- - d cos y),

(4) 0 = cos a d.cos a 4- cos 3 d.cos p 4- cos y d. cos y»

Formons la combinaison (3) — X(4), \ désignant un facteur indéterminé, et annulons dans cette combinaison les coefficients de d cos a, d cos p, d cos y ; nous aurons :

|(a* 4- r* — X) cos a = a? (a? cos a 4- y cos g 4- 2: cos y), (ft* 4- r' — a) cos 3 = y (a? cos a 4- y cos p 4- -î cos y), (c* 4- r* — : X) cos Y = - (^ cos a 4- y cos p 4- 2: cos y).

Multipliant les équations (5) respectivement par cos a, cos 3, cos Y et ajoutant, on trouve :

(a* 4- r*) cos' a 4- (ft* 4- r') cos' p 4- (c* 4- r') cos' y — ^

= (:c cos a 4- y cos 3 4- 2 cos y)'»

ou bien, en tenant compte de (i) :

Les équations (5) donneront ensuite :

cos a = ^ z (x cos a 4- y cos Û 4- 2: cos y),

i rt* 4- r' — p' *^

(5 ^) ces 3 = ^, ^ ^» -;-, (o^ cos X 4- y cos 3 4- 2 cos y),

, cos Y = -; ^ {x cos 3t 4- y cos 3 -f- z cos y).

\ C' 4- r' — p' 9 r il

Je multiplie ces dernières équations respectivement par a;, ijy z, en les ajoutant, et supprimant le facteur x cos a H- y cos 3 + z cos v, j'obtiens :

Nous avons aussi, en vertu des équations (5"*) : cos a cos 3 cos y

W + /' — pV W 4- r» - pV W + ? — pV

L'équation (fi) est du troisième degré en p*, à chacune de ses racines correspondra un axe principal dont la direction sera déterminée par les équations (7). Soit a* < b* < c*.

Les trois valeurs de p* sont réelles et comprises entre a* + ?'* et 6* + r', entre 6' + r* et c' -}- r', et enfin entre c' + r* et + 00 . Les trois valeurs de r* — p' sont les trois paramètres X, [jl, v des trois surfaces du second degré :

a* 4- X ft' 4- X c' 4- X

\ a' 4- V ft' 4- V C' + V^

qui sont homofocales avec l'ellipsoïde (*).

fl' b- c*

et passent toutes les trois par le point donné A,(x, ;/, z); réquation (9) peut s'écrire du l'este :

(*) Clebsch a propose d'appeler cotte surface le second ellipuoide central.

L'une de ces trois surfaces est un ellipsoïde, la seconde un hyperboloîde à une nappe, et la troisième un hyperboloïde à deux nappes.

Les équations (7) montrent que les directions des axes principaux d'inertie au point A sont les normales aux trois surfaces (8), ou bien, d'après un théorème connu, les- tangentes à leurs intersections mutuelles.

On a en désignant par p', p|, p* les trois racines de l'équation (6) :

\ = r^^p\; ij.=:r« — p»; ^ = r^^pl d'où :

p, = KiT* + y* + ;:• — X; p, = k'rc* -H y' 4- 2* — jj.;

On arrive donc à ce théorème remarquable dû à Binet :

Liant donnés les axes principaux et les moments d'inertie principaux relatifs au centre de gravilé, on obtie7idra les axes principaux et les moments d'inertie principaux relativement à un autre point quelconque A, de la manière suivante : On construira le second ellipsoïde ceyitral, et les trois surfaces du second degré qui lui sont homofocales et passent par le point donné A; les normales à ces surfaces seront les axes principaux du point A ; soient X, jx, v les paramètres de ces trois surfaces, les rayons de gyration principaux en A seront respectivement :

Vr^ — X, Kr' — [x, Kr' — v.

Supposons pour fixer les idées : a>h > c\ supposons en outre que :

X réponde à Tellipsoïde ;

[i. à rhyperboloïde à une nappe ;

V à rhyperboloïde à deux nappes.

On a :

a' + X>0; 6'-hX>0; c«4-X>0,

a'4-îJt.>0; 6'4-ix>0; c'4-ijl<0,

a' + V > 0; fc' -h V < 0; c' + v < 0,

— X < c' < — jj. < &• < — V < a'; or :

il en résulte donc :

pî < c* -H r* < pî < &« + r» < pî < fl* 4- r\

Donc le plus petit moment répond à Tellipsoïde; le plus }(rand, à Thyperboloïde à deux nappes.

Remarque. — pj, pj, pj sont les trois racines de l'équation (6), la somme des racines est :

pî 4- pî 4- pî = 3r' 4- a* + 6* 4- c*.

Donc, la somme des moments d'inertie du point A reste constante quand ce point se meut sur une sphère ayant pour centre le centre de {(i*avité.