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—A a T" r*''8inecos«e,^ ,. , p /•« r*'^sin«ecoseco8 6^, ^.

^=?i jo -L— ^^^^-^-ftîjo jo L— "rfed*

Y /•« f««sin*e cosO sin 6 ^, ^,

les deux dernières intégrales sont nulles, comme on le voit en groupant les éléments deux à deux comme il suit :

On a donc :

/|i.pg p p'^ sin Qcos'edOd^;^

a* Jo Jo cos'O sin*0 ces' à sii

0 sin*0 ces' ^ sin*0 sin* 6

a* fr* ^ c*

nous allons intégrer relativement à ij; ; en remplaçant ^^^

cos'O , . . . , *

par —^ (cos'^j; + sm'(^), nous aurons à évaluer Tintégrale :

Jo P COS*'!; + ^Q sîn'tj^ Jo

où :

-. cos* ô sîn* 0

sont des quantités essentiellement positives ;

'•« d'if r.

U P cos*6 -f- Q sin'ij; 2 y PÔ Il en résulte :

A - - a /•; sin ô cos'O

A = — ir.f[KÇi —^ j * i=z=z=== ^0.

^ I /cos* 0 sin' 0 - /cos* 0 sin' 0

On peut remarquer que les coordonnées du point attiré ne figurent pas dans l'intégrale définie; A est seulement proportionnel à a; ainsi, si le point attiré se déplace dans un plan perpendiculaire à Oa?, la composante de l'attraction parallèle à Oa; ne change pas.

Remarquons en outre que A est une fonction homogène et de degré zéro de a^b^ c; il en serait de môme de B et C; si donc on considère deux ellipsoïdes homothétiques de même densité, leurs attractions sur un point intérieur à chacun d'eux seront les mêmes; il en résulte qu'une couche comprise entre deux ellipsoïdes homothétiques n'exerce aucune action sur un point de son intérieur; il est très

facile de s'en rendre compte géométriquement. Tout plan j)assant par le centre commun de deux ellipsoïdes homothcv tiques les coupera suivant deux ellipses liomoihétiiiues. Considérons un anji^le solide infiniment petit ayant son sommet en K; il détaclieradanslacouche deux éléments MNPQ, M' NT'Q'. L'attraction de MNPQ sur K sera (voir Tarticle 89) :

Fi3 178

ii)/"î/.p MP;

l'attraction de M'NT'Q' sera :

Or:

tùf\Lp M'P'.