MP = M'P

ces deux actions se détruisent, et l'attraction de la couche entière sur le point K est nulle.

93. Rédaction de A, B, C aux fonctions elliptiques. — Nous avons trouvé pour l'expression de A :

A = - i^hp Jjf ^

sînO cos*ô d6

, //cos*0 sin*ô\ /cos*ô sin*0\

En suivant la mémo marcho, on trouvera pour lî et C :

sin 0 cos-0 rfô

- /cos* 0 sin' 0 - /ces*

y Hj^'^'v y "^

0 sin^ 0

sin 0 cos'o (la

I /cos- 0 sin- 0 - /ces' 6

y ~cy~^ "^ ~â«" y "c»'"

sin' 0

Itî COrilS DK MÉCANIQUli.

Supposons :

en représentant cos 0 par ii, nous aurons :

A = — 47;pa2 — . /

On trouvera des expressions analogues pour B et C (*).

Ces quantités A, B, C s'obtiennent sous forme finie, lorsque Tellipsoïde est de révolution. Supposons par exemple :

6 = c, et ft > a; faisons :

et nous trouverons :

sinO r/6

n(* + A*) cos» 0 si

B C . ^ n cos'esîn o^e

P Y ' Vo |/l4-A«sin*e

Nous avons à trouver les valeurs des deux intégrales :

n cos'eslne r n'dn

^ r^ cos'Osin OdO r^ u^ du

J 0 Kl + V sia' 0 ""*/ 9 Ki'-T X« — A» îi* Or:

= r-j w — ::i arc tg.Aî* -*- const.;

(>) Voir les Exercices de calcul intégral de Logendi-c, tome U, pour la rtnJuo tion do ces intégrales aux formes canoniques.

donc :

H = ^ (X — arc Ig X).

Dans K nous ferons :

Xm = |/1 4- X' sin <}/, d'où :

au = : cos à dà^

et l'expression de K deviendra :

K = j — r^ — sin' (}/ r cos C^ d^,

yi -f- X* cos '^

formule dans laquelle :

et par conséquent :

sm 9, =

Kl + X'

K =J^ -y^ sin' '!; d^ = ""âx^ J, (* "" ^^ ^6) rf^, K = -^^ ('^ - sin ^, cos 6.) .zz -^^ ^arcig.X- j~^,j

Donc :

1 + /* A := — izf[ip2 —~ (X — arc Ig X),

Soit M la masse de l'ellipsoïde, on aura :

M = -Traftcp = - 7:pa' (1 4- X*);

iO COURS DE MÉCIMQUE.

noîLs aHoiLS intrârer relativement à i: en renir'li'^nt — ,par -^ ico>"i 4- ?in'i>. nous aurons à éraluer Fintégrale :

ou :

^ C05* ^ sîn* h

sont des quantités essentiellement positives :

ri à^^

J» P coà»i + 0 sin*i

n en résulte :

A = - 4^/ïtp |. p

sînOcos'O

VtU> 9 Mil W - / C'»>

On peut remarquer que les coordonnées du point attiré ne figurent pas dans l'intégrale définie; A est seulement proportionnel à a; ainsi, si le point attiré se déplace dans un plan perpendiculaire àOx, la composante de l'attraction parallèle à Oo: ne change pas.

Remarquons en outre que A est une fonction homogène et de degré zéro de a, b, c; il en serait de même de B et C; si donc on considère deux ellipsoïdes homothétiques de même densité, leui-s attractions sur un point intérieur à chacun d'eux seront les mêmes ; il en résulte qu'une couche comprise entre deux ellipsoïdes homothétiques n'exerce aucune action sur un point de son intérieur; il est très

facile de s'en rendre compte géométriquement. Tout plan passant par le centre commun de deux ellipsoïdes liomothétiques les coupera suivant deux ellipses liomolhétiques. Considérons un angle solide

■ ^9 ^ ^--^-^ r^ es infiniment petit ayant

son sommet en K; il détacheradanslacouche deux éléments MNPQ, M' N'P'Q'. L'attraction de MNPQ sur K sera (voir l'article 89) :

ii)/"[j!.p MP;

l'attraction de M'N'P;Q' sera :

Or:

ii)/'[i.p M'P'.