AUTOUR D'UN AXE FIXE
;. Dans un pareil mouvement tous les points décrivent des arcs de cercle dont les rayons sont les distances de ces points à Taxe de rotation. Soit 6 l'angle décrit pendant le temps t par le rayon d'un des points; cet angle est le même pour tous les points. Soient r la distance du point considéré à Taxe, v sa vitesse, s Tare de cercle correspondant à l'angle 6; on a:
ds rdô
On représente par w la quantité -r-y qui peut être constante
ou variable, on a donc :
V = wr;
ci> est la vitesse angulaire de la rotation à l'instant considéré; la formule précédente montre que w est la vitesse, à l'instant considéré, des points situés à Tunité de distance de l'axe.
Considérons le mouvement de rotation d'un corps solide
autour d'un axe fixe ; prenons trois axes rectangulaires fixes
Oa^j Oy, Oz, l'axe Oz coïncidant avec l'axe de rotation.
Désignons par a?, y, z les coordonnées iKun point quel-
conque M du corps à l'épocjuo f, par X, Y, Z les composantes à la nicme épo(iue de la force F appliquée en M ; le mouvement du corps solide sera déterminé par Téquation des moments relative à Taxe 0 c, savoir :
Or, r et 6 désignant les coordonnées polaires de la projection du point M sur le plan xOy, on a :
j7 = r cos 6, y = r sin 6; 0 est une fonction inconnue de t; on a donc :
on aura :
dy dx dh
dt " dl dt
L'équation (i) donne ensuite :
dt dt ^ dt
r est constant pour chaque point matériel pendant toute la durée du mouvement; w est le même à chaque instant pour tous les points du corps solide ; on a donc :
^i:wr» = S(a?Y — Ya:),
d'où :
diù S {xY — y\)
dt Imr*
Telle est l'équation dont dépend la détermination du mouvement du cori)s.
On ])eut donner une autro forme à cette équation. I^ force F ((ui agit sur le point M, pourra rtre la résultante de
plusieurs autres P, P' ... ; soit Q la projection sur un plan perpendiculaire à Taxe de Tune quelconcpie des forces P, q la plus courte distance de la force P avec Taxe, on peut mettre Téquation (2) sous la forme (2 *") :
dtù dt
2Qî
Hmi
Qq est le moment de la force P par rapport à Taxe de
rotation; 2mr' est le moment d'inertie du corps par rapport au même axe.
Soient POA un plan perpendiculaire à Taxe, OA une droite (ixe située dans ce plan ; comptons les angles 0 dans ce plan à partir de OA, dans un sens déterminé, celui de la flèche par exemple; on aura :
dt
Fig li24
et dans SQç, on devra prendre chaque moment Qq avec le signe + ou le signe — suivant que la composante Q tend à faire tourner le corps dans le sens de la flèche ou en sens contraire.
On sait que les forces intérieures ne figurent plus dans réquation (1); les réactions que les divers points de Taxe fixe exercent sur le corps, sont des forces qui rencontrent Taxe, et dont les moments sont nuls par rapport à cet axe ; dans réquation (2 *""), S Q g représente donc la somme algébrique des moments relativement à Taxe de rotation de toutes les forces extérieures, qui agissent sur les divers points du corps; Swr' est le moment d'inertie du corps par rapport à Taxe flxe; de là ce théorème :
Despeyrous. — Mécanique, il. V.i
Quand un corps solide tourne autour d'un a^ce fixe^ la dérivée de la vitesse angulaire, par rapport au temps, est égale à la somme algébrique des moments de toutes les forces extérieures, par rapport à l'axe de rotation, cette somme étant divisée par le moment d'inertie du corps relor tivemsnt au même axe.
On voit que, si la somme des moments des forces extérieures est constamment nulle, on a :
dt "'
d*où (I) = const. ; le mouvement de rotation est donc uniforme. L'équation (2) peut s'écrire :
En général, les moments des forces données varieront avec la position du corps; si ces forces extérieures ne dépendent pas du temps, leurs moments seront des fonctions connues de 0, et Féquation (3) pourra s'écrire :
On en tire :
(i)o étant une constante arbitraire, qui représente la valeur initiale de la vitesse angulaire, pour < = 0, alors que 0 = 0,, on aura ensuite :
dt =z — --—-—-—------ •
du
Si Ton peut effectuer cette quadrature :
'^ de
Jo.
y/iJJj{^)dB + i,\
on aura t en fonction de 6, d'où 6 en fonction de t.
29. Application. — Les forces extérieures se réduisent à des attractions dirigées vers un centre fixe, et proportion- Telles d la distance.
Faisons passer Taxe des x par le centre fixe, et soit a la distance de ce centre fixe à Taxe de rotation ; on aura :
X = tn\i.{a — x); y = — W[xy, d'où :
xY — yX = — m[x ay,
S (a?Y — yX) = — [xa Zmy = — [xa My„
en désignant par y^ Vy du centre de gravité, et par M la masse totale du corps ; on aura donc :
^ ^ — P'g My, ^^ dt' "" Imr'
Posons :
a?, = r, coseï; yi = riSmOi; 2wr'=:MK*; ^^ = z-'
on aura : ^ = -^ > et Téquation (5) donnera : d'où, en multipliant par 2dô| et intégrant :
Qh '■
cos ôj 4- const.
Supi)Osons que pour < = 0, 0, = a, ot - ' = 0; il viendra :
(sy-
(cos 0, — cos a,).
Kcos 0, — COS a,
Le rayon vecteur r, du centre de fri'avité se déplacera comme le ferait un pendule simple;.
