Notion mécanique des axes principaux d'inertie
Prenons un corps solide attaché à un axe fixe, autour duquel il ne peut que tourner, et cherchons les résultantes des pressions supportées par cet axe ; prenons deux points 0 et 0' sur cet axe, et ne nous occupons que de ces deux points; si ces points restent immobiles, comme le corps est solide, il en sera de même de tous les points de Taxe ; nous allons chercher les pressions cpie le corps en mouvement exerce sur ces deux points ; les réactions de ces deux points sur le corps seront égales et opposées aux pressions qu'ils supportent; soient, pour le point 0, X„ Y„ Z, les composantes de la réaction suivant les axes, et de même X„ Y„ Z, pour le point 0'; soit 00' = Z; en mtroduisant ces réactions on pourra applicjuer au corps solide les équations du mouvement d'un corps solide complètement libre et écrire les équations :
ïCicY-yX),
En mt^ltant on (-vidence ce <jui se rapporte aux réactions,
on trouvera :
Sm J- î = 2 ^ -^ ^' + ^" (A) { 2mg=2;z + Z. + Z,.
Cette dernière équation ne contient pas les réactions ; elle donne la loi du mouvement. Nous allons simplifier les équations (A). On a :
(2) 2 = const.; ;^ = 0;
(3) x = r cos 0; y = r sin ô; — = lo ;
par conséquent, en remarquant que r reste constant pendant toute la durée du mouvement :
dx . ^<^0 dy ^rfO
dt dt' dt dt
ou bien, en tenant compte de (3) :
dx
dt ••'^'
dy
dt
On en tire :
tV-x
diù dfi
Ut "'dt'
d^y dio dx
,ù^ - -^ '-' dt '■ "' dt'
et, en ayant égard à (4) :
On aura ensuite, en tenant compte de (2) et (5) : „ d'à? d(ù ^, , ^
dr dt
Soient a;, et y^ les coordonnées du ceijtre de gravité du corps à répoque t, M la masse de ce corps ; on a ;
2wa? = Ma?,; 2my = My„ et les équations (6) donneront :
En portant ces valeurs dans (A), il viendra :
(8) Y. + Y. + 2 Y + M (-X, '^Jl + (o'y.) = 0,
b DYNAMIQUE. 199
(iO) — JY, 4- S (yZ — ^Y) -f- ^ Ztnxz — w* Zmxy = 0, (il) 4- /X, + X {zX -xZ) + -^ Imyz -f to» Zmxz = 0.
Quand on saura intégrer Féquation (1) qui donnera le mouvement, les équations (10) et (11) donneront X, et Y,; (7) et (8) donneront ensuite X, et Y, et (7) fera connaître Z, -h Z„ sans déterminer en particulier Tune des composantes; cela tient à Thypothèse d'une rigidité absolue du corps solide, qui permet de transporter tout ou partie de la composante Z, du point 0' au point 0.
Remarquons que X, et Y, seront en raison inverse de l, * Supposons que les forces extérieures se réduisent à un couple, dont le plan soit perpendiculaire à Taxe, et dont nous représenterons le moment par N ; on aura :
Z {xY - yX) = N, v;(yZ-z¥) = 0, Z (zX — xZ) = 0.
Les équations (1), (7), (8), (9), (10) et (11) donneront donc :
(12) ^ Ztnr^ = N,
/ d V } Zj 4- Z, = 0,
(18) iY, = -^Zmxz — iù^ltnyz,
(16) /X, = — -j^ Imyz — o)" Imxz,
Demandons-nous, maintenant, s'il est possible de conserver le mouvement sans que le point 0' agisse; on devra
avoir constamment :
X,=.0, Y,zz:0; 0\o) et (16) donneront donc :
-T- Imxz — (I)* Zmyz = 0, dt
-r- Zmyz + (I)* ^mxz = 0, dt
d'où :
(j'y I (Zmxzy + {ImyzY j + w'^ | {ï.myzy + (Sma;^)» | = 0, ou bien :
ce qui exige que Ton ait séparément :
(17) Zmxz = 0; Imyz = 0.
Réciproquement, si les équations (17) ont lieu, les formules (15) et (16) nous montrent qu'on aura : X, = 0; Y, = 0.
Donc, pour que le point 0' n'agisse pas, c'est à dire pour qu'il n'éprouve aucune pression, il faut et il suffit que les équations (17) aient lieu, c'est à dire que l'axe Oz soit un axe principal d'inertie, relativement au point 0. De là ce théorème :
Pour quun corps solide attaché à un point fixe, et sollicité par un couple agissant dans un plan perpendiculaire à une certaine droite passant par le point fixe, tourne constamment autour de cette droite, comme si elle, était fixe, il faut et il suffit que cette droite soit un axe principal d'inertie relativement au point fixe.
Le mouvement contiiuiora autour de cette droite, sans qu'il faille exercer aucun effort pour la maintenir invariable.
On peut demander aussi que le point 0 n'agisse pas non plus; on devra avoir alors, en outre de X, = 0, Y, = 0, Z. = 0:
Les équations (13) et (14) donneront :
y. - + o.«ar. = 0,
1» ^ ou :
ou bien :
^, jfj — w'y, = 0,
(!f\ + or.\) '^^ + u' ix\ + y\) = 0,
{- -^ o>') (xî H- yî) = 0.
Celte équation se décompose en deux autres :
qui montrent que Taxe 00' doit passer par le centre de gravité du corps. Réciproquement, si les équations (18) ont lieu, les équalions (17) étant supposées vérifiées, on en déduira : X, = 0, Y, = 0, Z, = 0.
Nous avons vu que, si la droite Oz qui est un axe principal relativement au point 0, i»asse par le centre de gravité, elle est jiussi un axe principal relativement à ce dernier point. De là ce théorème :
Pour qu'un corps qui a commencé à tourner autour d'une certaine droite, et qui est sollicité par un couple perpendiculaire à cette droite, C07ilinue à tourner autour de cette droite , entièrement libre, comme si elle était fixe, il faut et il suffit que cette droite soit tui des axes principaux qui se rapportent au centre de gravité.
Daus le premier cas, où le corps a un point fixe, les tiois
axes principaux, qui s'y croisent, sont donc des axes permanents de rotation, et ce sont les seuls qui jouissent de cette propriété. Les trois axes principaux qui se croisent au centre de gravité, sont nommés axes naturels de rotation. Toutes les conséquences précédentes subsistent évidemment quand il n'y a pas de forces extérieures ; il suffit de faire N = 0; la vitesse angulaire lo qui était variable, dans le cas du couple, devient seulement constante,
