Application aux meules des moulins. — La meule
mobile d'un moulin offre l'exemple d'un corps solide tournant autour d'un axe auquel il n'est rattaché que par un point.
Si la meule mobile était liée invariablement à l'axe de rotation, le travail de la mouture serait très inégal; les grains de petite dimension échapperaient à l'écrasement dans l'intervalle uniforme des meules. On obtient un meilleur résultat, en laissant à la meule mobile la liberté d'osciller autour de son point d'attache ; mais l'oscillation qu'elle prend doit toujours rester très faible. Pour cela, on fait en sorte que l'axe de rotation soit un axe principal au point d'attache ; on centre aussi la meule, c'est à dire qu'au repos son centre de gravité doit se trouver sur la verticale du point de suspension. Cette dernière condition étant supposée d'abord seule remplie, la meule se tiendra horizontale au repos ; mais, pendant le ipouvement, il n'en serait de même que si la meule était entièrement homogène, ce qui n'a pas lieu en général ; en prenant pour axe des z la verticale du point de suspension, on devra avoir :
ce qui fera que l'axe de rotation sera un axe principal.
On ajoute à la meule de petits contrepoids qu'on peut élever ou abaisser à volonté; on peut ainsi faire varier
Sma;z, Smyz, et arriver par tâtonnement à rendre nulles ces deux quantités.
Alors la rotation uniforme persiste autour de la verticale du point de suspension, comme si cet axe était entièrement fixe. On est averti que le réglage est convenable, par la stabilité du mouvement de la meule, quand on la fait tourner à vide.
32. Du pendule composé. — Un corps solide pesant, mobile autour d'un axe horizontal, qui ne passe pas par son centime de gravité, se met de lui-même en mouvement, quand il n'est pas dans sa position d'équilibre, c'est-à-dire, quand son centre de gravité ne se trouve pas dans le plan vertical mené par l'axe; il constitue alors un pendule composé, nous allons chercher les lois du mouvement de ce pendule.
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Soient Oz l'axe supposé horizontal, Oa; un axe vertical et dirigé vers le bas, M un point quelconque du solide, MP =p sa distance à l'axe, MQ perpendiculaire sur le plan a^Ot/j 6 = ajOQ, Smp* le moment d'inertie du corps' par
rapport à Taxe Oz; on aura pour déterminer le mouvement du corps solide l'équation :
(a) ^^2mp' = ^(a?Y-yX),
0 étant l'angle icOQ compté positivement de x vers y. Ici, on a en désignant par m la masse du point M :
Y = 0, X = mg.
L'équation (a) peut donc être mise sous la forme :
(6) ^^mp^^-^glmy.
Soit j/, la valeur de y qui répond au centre de gravité; on aura en désignant par M la masse du corps :
^my = My, = Ma sin 6j,
0, désignant la valeur de 0 qui répond au centre de gravité G, et a la distance de ce centre de gravité à Taxe de suspension ;
en remarquant que — = -j^' il viendra donc:
(1) ^' ^imp" = — glAa sin 0,.
Soit MK* le moment d'inertie du corps par rapport à ki parallèle à Oz menée par le centre de gravité; on aura, comme on sait :
(2) i:wp«=:Ma' + MK*.
Donc, l'équation (1) deviendra :
(3) f^ = - -4i sin 0..
Considérons un pendule simple de longueur l = a -\ ;
on sait que les lois de roscillation d'un pareil pendille son! données par la formule :
dt'
— f sln e.
Le pendule composé oscillera donc comme le pendule simple de longueur Z, si à un certain instant on a :
0, = e, et
de.
dt'
l'égalité de ces deux angles se maintiendra pendant tout le mouvement. Le pendule simple de longueur l se nomme le pendule synchrone.
Lorsque le pendule composé fera de trùs petites oscillations, il en sera de même du pendule simple, et la durée T de ces oscillations sera :
- ou
On voit que pour calculer T, il faudra connaître a et K, ou bien la distance du centre de gravité à Taxe de suspension, et le moment d'inertie du corps relativement à un axe
passant par le centre de gravité, parallèlement
à Taxe de suspension.
