Application au pendule de Borda. — Clo
pendule se composait d'une sphère CA en platine, de rayon R et d'un lil métallique OA très fin, dont on pouvait négliger la masse, attaché au point fixe 0 ; soit 0 C = a ; le point C peut être considéré comme le centre de gravité du pendule composé; l'axe de suspension passera en 0; soit M la masse de la sphère; le moment d'inertie MK* de cette sphère par rapport à un axe parallèle à l'axe de suspension, passant par le point C,
FJq 226
î206 COURS DE MÉCANIQUE.
est, con^e on sait :
on a donc :
MK«=:^';
et par suite :
Borda prenait :
il avait donc :
Ainsi la longueur du pendule simple faisant ses oscillations
dans le même temps que le pendule de Borda ne différait
de OC que de r de millimètre.
Si Ton trace dans Tintérieur du pendule composé, au
dessous de son centre de gravité, et dans le plan de ce centre G et de Taxe de rotation, une droite AB parallèle à Taxe, dont { soit la distance AR à cet axe, le mouvement des points de cette droite AB ne sera ni accéléré ni retardé par leur liaison avec les autres points du corps. Parmi tous les points de cette droite, on appelle proprement centre d'oscillation le point A situé sur la même perpendiculaire à Taxe que le centre de gravité, tandis qu'on nomme la droitq AB axe d'oscillation.
On a :
on ep conclut :
GA=a
Les axes de suspension et d'oscillation sont réciproques ; c'est à dire que si l'on faisait osciller le corps autour de AB, OR deviendrait Taxe d'oscillation. Soit en effet V la longueur du pendule simple oscillant de la même manière que le nouveau pendule composé, on aura :
car A G remplace a; mais, à cause de AG = — » on aura :
Donc, les divers points de la droite OR oscilleront dans le même temps que s'ils étaient affranchis de leur liaison avec les autres points du corps; OR est le nouvel axe d'oscillation. (On peut définir l'axe d'oscillation : une droite dont chaque point se meut comme s'il ne faisait pas partie du corps et était simplement Ué à l'axe par une droite rigide et sans masse.)
La durée des oscillations très petites autour des deux
axes OR et AB, est la même et égale à x i/-» l désignant
la distance AR des deux axes»
Réciproquement, si la durée des oscillations très petites, autour des deux axes parallèles, dont le* plan contient le centre de gravité G, et qui n'en sont pas équidistants est la même, leur distance mutuelle sera la longueur { du pendule simple synchrone.
En effet, soient a et a' les dislances inégales du centre de gravité à ces deux droites parallèles, et conséquemment a -\' a' leur distance mutuelle; soit aussi MK^ le moment d'inei'tie par rapport à Taxe parallèle passant par le centre de gi'avité; puisque la durée des oscillations est la même autour des deux droites, il faudra que l'on ait :
a! 4- -r=ia -\ — »
é(}uation du second degré en a', dont les racines sont :
a' =^ a et a' = — .
Les deux axes n'étant pas é(juidistants du centre de gravité, la solution a' = a doit être rejetée, et il reste
seulement a' = — ; donc, la distance des
deux dxes qui est a + a' sera égale à
K* a + -- = l. Donc, si Ton mesure la
Fig 228
distance a + a' des deux axes synchrones, on aura la longueur du pendule simple qui correspond à la durée commune de leurs oscillations.
34. Pendule à réversion de Kater. — '^' Il consiste en une règle en laiton, portant deux couteaux C et C autour desquels on peut la faire osciller successi- L vement; la règle se termine par deux aiguilles A et B qui aident à compter les oscillations par la méthode des coïncidences ; L est une lentille dont la masse est considérable, et tellement placée que le centre de gravité du système ne coïncide pas avec le milieu de GC, m et m'
sont deux curseurs que Ton déplace le premier à la main, le second avec une vis de rappel. Dans toutes les positions, le plan ^mené par les arêtes des couteaux C et C doit contenir le centre de gravité du système.
On suspend l'appareil par le couteau C, on le fait osciller et on compte le nombre n des petites oscillations dans un temps donné f; on le retourne, et on fait osciller autour de C ; on compte le nombre n' des oscillations effectuées dans le môme temps t ; on donne aux oscillations la même amplitude dans les deux cas; on déplace les masses m et m' jusqu'à ce que, par des tâtonnements successifs, on arrive à avoir n' = n., alors, la lopgueur l du pendule simple synchrone est la distance^f G' des arêtes dfes couteaux.
Il y a une infinité d'axes autour desquels les petites oscillations d'un même corps pesant sont d'égale durée.
D'abord, il est évident que cela a lieu pour tous les axes de suspension parallèles entre eux, et équidistants du centi-e de gravité, puisque pour tous ces axes, a et MK*, par suite a et K", donc /, restent les mêmes.
On peut aussi changer la direction de ces axes et leur distance au tentre de gravité, sans que la valeur de / soit changée; car, si l'on appelle a, (3, y les angles que la parallèle à l'axe de suspension, menée par le centre de gravité, fait avec les axes principaux d'inertie qui se coupent en ce point, on aura, en désignant par A, B, G les moments d'inertie principaux, pour le centre de gravité :
MK" = À cos* a 4- B ces' P -f- C cos* y, donc :
,«. , A ces' a 4- B ces' û -h'C cos' y (6) î = a'\ -. — ^•
On peut évidemment donner à a, a, g, y une infinité de valeurs différentes pour lescfuelles cette valeur de / restera
Despeyrovs. — Mécanique. II. ^^
210 COURS DE MKCANIOt-'E.
la même. (Il est bien entendu qu'un axe de suspension étant déterminé, on doit ensuite le rendre horizontal.)
Axe de la plus courte oscillation. — 11 faut déleiminer a, a, 3, Y de manière que la longueur l soit la plus petite possible. Soit A<B<C; lorsque a, g, y prennent toutes les valeurs possibles, le minimum de
A cos' a + B ces* 3 -I- C ces* Y
est A ; on l'obtient en prenant :
on est ensuite ramené à trouver le minimum de
Ma
ce minimum a lieu pour
alors /
