PR P'R
PR* + P'R'*+ Qp« rzzzKR^/; x = ^^K\\gt\
r'=:KR'fff; a.' = * KR'^/*,
a; et a;' désignant les (juantités dont descendent et montent pendant le môme temps f les poids P et P', dont le mouvement est, comme on voit, uniformément accéléré.
Machine d'Atwood. — Pour passer à la machine d'Atwood
il sulïit de faire R = 11' dans les formules précédentes; on
a alors, on posant :
R'(P + P')4-Qp*
Al,
v = v' =hgt = g't, > g' =gh.
x = x' =^ligt' = ^g't\ i
Si P — P' est très petit, il en sera de même de raccéldralion g'.
Les poids P et P' sont connus, ainsi que R; p peut être calculé aisément ; on peut calculer x et t] on a alors :
__2a;î R»(P + P') + Qp* j
^ — Rî (P -^"p'yy*
DYNAMJQUE. 213
On peut donc calculer g, mais on n'a pas la mm\e précision qu'avec le pendule.
36. Problème. — Un cylindre circulaire droit homogène est placé horizontalement sur nn plan incliné parfaitement poli; un fil sans masse, fixé par une de ses extrémités aie contour du cylindre, s'enroule sur le corps suiva^it la sectio7i droite qui contient le centre de gravité, et s'attache par l'autre extrémité à un point fixe situé dans le plan de cette section, à une hauteur au-dessus du plan incliné égale au rayon du cylindre. Le fil étant complètement enroulé, on abandonne le cylindre à son poids. Déterminer, pour une position donnée, la tension T du fil, et la vitesse avec laquelle décroit l'angle 0 que le fil fait avec le j^lan incliné.
Soient a le rayon du cylindre, M sa masse, MK* son
moment d'inertie par rapport à son axe, et a Tinclinaison du plan sur riiorizon. Soit 1 le point de suspension, IG = a; la figure 230 représente les choses à l'origine du •;, ^ ^ mouvement, la figure 231
^ a 1 époque t ; prenons CA
pour axe des x, C pour origine; le point du cylindre (jui était d'abord en I, est venu en K, et l'on a :
arcBK = BI = cotg 0,
arcBL = a (5 — ^)'
arc L K = a U h- cotg 0 — ^j^
(1) LOK = 0' := 0 + cotg 0 — ^•
0' est l'angle dont on a tourné le cylindre, dans le mouve-
ment relatif autour du centre de gravité 0, par rapport à la direction fixe 01; w désignant la vitesse angulaire de ce
mouvement de rotation,
on aura :
ou, en remplaçant 0' par sa valeur (1) :
Fui 231 (2) o) = /'l--rV^--
Les forces agissantes sont : la tension du fil BT = T, la réaction normale AN = N du plan; elle passe par le centre 0 du cercle, et le poids OG = Mgr du cylindre. Soit CA = 01 =»= 0? l'abscisse du centre de gravité; on aura pour déterminer le mouvement de ce centre de gravité Téquation :
(3) ** ^ ~ ^^ sin a — T cos 0.
On a du reste :
sin 0
On aura enfin, pour déterminer la rotation du cylindre dans le mouvement relatif autour de son axe ;
MK» ^ = T«,
at
OU bien, en remplaçant o) par sa valeur (2) :
(5) Ta = M*K-;^S(i-.-y^îî;
^ ^ dti\ sm* e/ dt )
(3), (4) et (5) déterminent a?, 0 et T en fonction du temps; on tire de (3) et (4), en ayant égard à l'expression (5) de T :
(6) sin* 0 = - sin a — - , cos 0 , î ( 1 r-rrl .- f •
— li'~~ ^ ^ ^ ^ V dtS
DYNAMIQUE. î215
Celte dernière équation, qui va déterminer 0, est du second ordre; elle ne contient pas t explicitement; on posera donc pour la ramener au premier ordre :
(7; jj = n.
et Ton éliminera dt entre (G) et (7), ce qui donnera successivement :
Fcos 0 </a / 1 2 cos' 0\"1 __ ^g sin a " \j\ï^ rfô "■ '* VsîîTô ■*■ sin» 0 / J "~ â"~
K* , / cos' 0 r/ M a II cos 0\
a- \ sin* 6 </0 sin* 0 /
d'où, en nmllipliant par 2 :
sin*0\ a* / (/O sui^'OL \ <* / J
(i + ij;) cos'
