CHAPITRE V

ROTATION D'UN CORPS SOLIDE AUTOUR D'UN POINT FIXE. MOUVEMENT D'UN CORPS SOLIDE LIBRE.

37. Énoncé d'un problème. — Un corps solide quelconque esè lié à un point fixe autour duquel il ne peut que tourner; les divers points du corps sont sollicités par des forces données; Vétat initial du corps est comiu; il faut déterminer à une époque quelconque les positions des divers points du corps.

Pour y arriver, on choisit trois droites rectangulaires Ox, Otfj Oz passant par le point ilxe et liées invariablement au corps; la question sera résolue si Ton parvient à déterminer à une époque quelconque la position de ces trois axes par rapporta trois axes rectangulaires fixes OX, OY, OZ i)assant également par le point fixe ; car, si Xj y, j3, X, Y, Z désignent les coordonnées d'un même point du cori)s, dans les deux systèmes d'axes, on aura :

Pour un point déterminé du corps x^ y, z sont des constantes; les 9 cosinus cpii entrent dans les formules (1) sont à un moment donné les mêmes pour* tous les points du corps, mais ils vaiient avec le temps. Si Ton arrive à «léterminer ces U cosiiuis en fonction du temps, le prol)lùme sera résolu.

220 COURS DE MÉGANIQUE. ,

38. Introduction des trois angles d'Euler. — On sait qu'il existe six relations distinctes entre les 9 cosinus, qui dépendent par conséquent de trois variables seulement. Traçons une sphère de rayon 1, ayant pour centre le point fixe 0, et marquons les points X, Y, Z, a:, y, z où cette sphère

est percée par nos deux systèmes d'axes. Considérons un mobile en niouve- \ ment sur l'arc de grand \ cercle xy^ dans le sens xy\ \ ce mobile rencontrera le ^^ grand cercle XY en deux points N et N', qui sont les nœuds du cercle xy relativement à X Y ; soit N celui des nœuds par où Fiq 252 passe le mobile, en passant

Z' de l'hémisphère XYZ à l'autre XYZ'; ce sera le nœud descendant, le seul dont nous nous occuperons ; on pose :

XN = t^; Na? = ?; XNa? = 0.

^ se compte positivement, à partir de X, en sens inverse deXYetvariedeOà3(30^

ç se compte positivement de N vers a:, de 0 à 360° ; donc, dans le sens de xy.

Enfin, l'angle 0 est compté au-dessous du plan XY, et varie de 0 à 180^

Ces trois angles déterminent sans ambiguïté la position des axes Oa?, Oy, Oz.

Expression des 9 cosinus en fonction de i/, 9, ô. — On a :

a = cos (X, x).

On considère le triangle sphérique XNo;, dans lequel on a :

en appliquant la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique, on trouve :

(A) a = cos (X, x) = cos tj; cos 9 4- sin ^ sin o cos 0.

En changeant dans cette formule ç en ç -h 90*^, on aura :

(B) b = cos (X, y) = — cos tj; sin 9 4- sin fb cos ç cos 0. En changeant dans (A) tj^ en t|/ + 90°, on aura :

(D) 6' = cos (Y, y) = sin 4^ sin 9 4- cos ^^ cos 9 cos 0.

On trouvera c, c', c\ a\ V par la considération des triangles sphéri([ues XNz, YNz, ZNo;, ZNj/, dans lesquels on a :

XN=:(1;; :rN = 90«; ::NX = 90^ — 0