MP = M'F
ces deux actions se détruisent, et l'attraction de la couche entière sur le point K est nulle.
93. Rédaction de A, B, C aux fonctions elliptiques. — Nous avons trouvé pour l'expression de A :
A = - kr.f^^ ^jf ^
sîn 6 cos*ô d6
0 sin*ô\ /cos'O sin'O
. //cos'O sin*ô\ /cos*
En suivant la môme marche, on trouvera pour B et G :
sin 0 cos'O rf6
I /cos* 0 sin' 0 - /ces'
0 sin' 0
sin 6 cos'O dQ
- /cos' 0 sin* 0 - /ces* (
0 sin' 0
12 COURS DE MÉCANIQUIî:.
Supposons :
en représentant cos 0 par te, nous aurons :
u^du
A 1= — 47:pa2 — /
On trouvera des expressions analogues pour B et C (*).
Ces quantités A, B, C s'obtiennent sous forme finie, lorsque Tellipsoïde est de révolution. Supposons par exemple :
b = c^ et b > a; faisons :
ft« = «•(! + V),
et nous trouverons :
A = — 'ki:f[LpoL I ' 5 n V
slnO r/0 ô
'^ cos* 6 sin 0 ^6
Kl 4- A» sin» e Nous avons à trouver les valeurs des deux intégrales :
u rî ^^^* ^ sin Q 3Q r' <** du ""7o l + X«cos«e^^~jol -hX'u*'
__/•? cos'OsinOdO p n* d?i
""•/• Kl -f- X' sin* e Jp KrnTx*^ X*tt*
Or:
r u^dH 1 rd 4- X* f f *) — 1 . 1 r, 1 d.\u J îTxMiï "= x*J 1 -+- X* «* ^" - x^ j ^" "" X' 1 -^ X* II'
= = • tt — r; arc Ig.Xn + const.; A* X'
(>) Voir les Exercices de calcul intégral de Lcgendre, tome H, pour la rtkiuction de ces intégrales aux formes canoniques.
donc :
H = ^,(X-arclg)0.
Dans K nous ferons :
\u = |/l 4- A* sin t};, croù :
rfw = ' ' ,' " CCS 6 d6,
et l'expression de K deviendra :
K =1 — r^ — sin' ^ ; CCS ^ i^^
V\ H- a' ces '^
formule dans laquelle :
et par conséquent :
sin <{;, =
Kl 4- x«
K = -^TT- ('>. — sin '^. CCS '>,) = -^^ /arclg.X— j-:^J
A nz: — 47:/*;i.pa — ; -- (X — arc Ig X),
= = 4./:xp ^^ ^arc tg.X - -^-^)
Soit M la niasse de rellipsoïde, on aura :
M = -'^abcp = : z^a^ (1 4- X-);
donc :
A = - 3^ix M ^, (X - arc tg X),
On a
= - = — 5^7 ( arc tg X — -, ^ )
Y 2a' A* \ 1 H- XV
B C KB'+ G* |/B' + C*
En désignant par N la projection du point attiré sur le plan de l'équatcur yOz, et posant a' = ON, la résultante de B et G est dirigée suivant N 0 et a pour valeur :
„ 3/^lAMa' / , ^ X \
^ = l^ïlir (arc tg X - j-^ j
Lorsque Tellipsoïde diffère peu d'une sphère, X est une petite fraction et les expressions précédentes de A et R se développent en séries très convergentes à Taide des
formules :
X* X* arc Ig X = X — -n -f- -^ —
Il en résulte :
f[tM% ( . 3X* , 3 X* 3 X*
„ , Ma' ( . 6., 9.^ 12,, )
Attraction d'un eUipsolde sur un point extérieur. — Théorème d'Ivory.
94. En opérant comme précédemment et conservant les mêmes notations, ou trouverait :
A = f[t.p I j l dv siii 6 cos 6 rfô rf»^.
Ici les deux valeurs de r
qui répondent à des valeurs données de B et t}^ sont positives ; on intègî-e relativement à r entre r^ et r„ de sorte que :
jdr = r. — i\ =
