Introduction des variables auxiliaires p, q, r. — On
sait que, lorsqu'un corps solide tourne autour d'un point fixe, son mouvement est à chaque instant un mouvement de rotation autour d'une certaine droite que Ton nomme l'axe instantané. Soient, à Tépoquo f, 01 la position de cet axe instantané, w la vitesse angulaire de rotation ; on choisit le demi-diamùtre 01 de manière qu'un observateur couché sur 01, les pieds en 0 et la tète en 1, voie la rotation s'effectuer dans le sens direct. On sait qu'on peut remplacer la rotation autour de 01 par trois rotations autour de trois droites formant un angle tiièdre ayant son sommet en G, et que, pour le faire, il suffira de porter la longueur o) sur 01 et de déterminer le parallélipipède ayant w pour diagonale, et dont les arêtes soient dirigées suivant les arêtes du trièdre ; les longueurs des arêtes du parallélipipède obtenu seront les rotations composantes.
Ainsi, en particulier, on pourra décomposer la rotation g) en ti'ois autres dirigées suivant les axes rectangulaii^es Oo;, Oj/, Oz liés au corps; soient 2), q, r les vitesses angulaires de ces rotations, on aura :
;> = 0)008 (1,05); (y = 0) ces (I, y) ; r = (ùCOs(},z); /)* + }• -*-r' = w% et inversement :
cos (I, x) = ^ ?! -; cos (I, y) = —=â=== :
l/pî 4- î' 4- r* K p* -*- î' 4- r*
cos (I, z) =
K;>* -+-/?* + r* (0 = Kp* 4- ^* + f*.
Si l'on connaissait }j, q, r en fonction du temps, on pourrait, à une époque (luclconque déterminer la position
de Taxe instantané 01 relativement aux axes Ox, Oj/, Oz et la vitesse (ù de la rotation.
La rotation o) autour de 0 1 j^eut aussi être décomposée en trois autres : une rotation X autour de OZ, jx autour de Oz, V autour de 0 N.
Le segment w est la résultante géométrique des trois segments X, jx, v; sa projection sur une droite quelconque est donc la somme des projections de X, [x, v sui' celte droite; ert projetant de la sorte sur Ox, Oy, Oz on trouvera :
p = X ces (Z, 0?) 4- [/. cos (z, a?) 4- V ces (N, x), } z= X ces (Z, y) 4- [JL cos {z, y) -f- v cos (N, y), r = X cos (Z, z) -h \L cos (2, ;?) 4- v cos (N, 2),
ou bien, en remplaçant les cosinus par leurs expressions données plus haut :
; p = — X sin e sîn ^ -4- V cos 9, (a) I j = — X sin 0 cos 0 — v sia 9,
\ r := X cos 6 -*- JJL.
Afin de pouvoir raisonner, supposons :
Dans la rotation infiniment petite XAf autour de OZ, le
point z reste à une 1^ ^ distance constante de
Z; la figure zNxy se meut comme un corps solide; Nx reste le même ; donc cette roy tation n'altère ni 0 ni 9; le point N vient en N', et Ton a :
NN' = 4-XAf.
Fia, 233
En désignant par là
la variation de ^, on aura, en tenant compte du sens dans
!224 COURS DE MÉGANIQUE.
lequel ^ est compté :
At!^ = — NN'; donc :
Dans la seconde rotation [jlA< autour de Oz, le grand cercle xy glisse sur lui-même; le point N reste fixe, ^ et 0 ne changent pas; le point x vient en x'y et Ton a :
: xx'=^'h\L\t; A9 = + a?a?'; *
donc :
Atî/ = 0; Aç = +[aA^; Ae = 0.
Enfin, dans la dernière rotation vAi autour de ON, le point N restant immobile, t^ ne change pas; il en est de même de 9; quant à 0, il diminue de vAf ; on a donc :
Aii^ = 0; A9 = 0; Ae = — vA/.
En réunissant les trois séries de variations trouvées ci-dessus pour ^^ 9 et 6, on trouvera :
Aij^ = — aA^; A9=: + [i.A/; A0 = — vA^,
pour les accroissements infiniment petits de ij;, 9 et 0, produits par les trois rotations considérées, ou, ce qui revient au môme, par la rotation a>Af elTectuée autour de 01. D'où, en faisant tendre \t vers zéro :
__ dtj^ ^ d^ dO
^~""rf7' '^■~'*"dr ''""""rfï'
les formules (a) donnent donc :
p =z siQ o sin 0 - - — cos o — » T
' ' dt ' d,t
. lUj . rfO (/ z= ces G sin 0 --- -+- sin ç -7-» ■ ^ dt ^ dt
d'où
. , (là
p sin 5 4- 5 cos ? = sin 6 -p- »
at
