Cas de A = B. Méthode particulière d'intégratiim
— Cette hypothèse se trouvera réalisée si le corps est • homogène et de révolution autour de Oz.
I^es équations d'Euler deviennent :
A^^ + (C-A)jr = 0,
A^-(C-A)pr=0,
dv at
On déduit de ces équations, en désignant par n une constante arbitraire :
'dp A — C
dq (A-C) l di- Â-"^-
En différentiant la première de ces équations, et tenant compte de la seconde, il vient :
en posant :
cette dernière équation devient :
t Mt^
dl^ = - "• « '''
dont l'intégrale est :
p = m sin {\k7it + e),
tn et e étant des constantes arbitraires. On aura ensuite
n[kq = Y =z w;jLv cos ([kUt -+- s).
DespeYROUS. — Mécanique. II. 1^»
On ti^ouvera donc pour p, ç, r les valeurs suivantes :
( p = m sin (\knt -h s), ^
j = mcos {[LUt + s), r = 7i,
(I)» z= p* 4- j» H- !•• z= m' + n* = consl.
On a en ffénéral, en prenant pour axe OZ Taxe du couple résultant :
kp . ^ — Aj « Cr
On en déduit :
sin9Sinô = — -f; cos9Sin6= — --^; cos 6 =
G U Ci
cos 0 = --- ; 6 = const.
Le plan de Téquateur se meut donc en gardant une inclinaison constante sur le plan XOY, c'est à dire sur le plan du couple résultant; la vitesse angulaire de ce
mouvement est p-v; elle est différente de w = J/m* -♦- n*.
Pour calculer ^ en fonction du temps, remarquons que Ton a :
^ ^ P Ap' -f- B^^ — GA (p^ + g') G d/ "" Ay 4- B«p* "" A* (p* 4- ?') " A '
On en déduit, en désignant par '^^ une constante arbitraire :
Donc, la trace de Téquateur sur le plan du couple résultant se meut uniformément, et par conséquent Taxe de révolution décrit d'un mouvement uniforme une surface conique ayant pour axe de révolution Taxe du couple résultant.
Théorie géométrique de Poiniot, dans le cas où il ii*y a pas
de forces extérieures.
47. L'application du théorème des aires montre que : 1o L'axe du couple résultant des quantités de mouvement
DYNx\MIQUE. 243
conserve dans Fespace une grandeur et une direction fixes ; les projections de Taxe de ce couple sur les positions, à l'époque l] des axes principaux d'inertie relatifs au point fixe 0, étant égales respectivement à Aj}, Bq, Cr, on en conclut, en désignant par G le moment constant du couple résultant :
AV -»-B*|/* + C»r« = G*.
2» L'application du principe des forces vives nous apprend que : la force vive du système reste invariable dans le mouvement; car les forces extérieures sont nulles, et la somme des travaux des forces intérieures est égale à zéro, parce que les distances mutuelles des divers points du corps solide sont invariables ;• on aura donc, en désignant par T une constante :
Ap* + B}* -h Gr«=:2T.
Cherchons le point P où Tellipsoïde central relatif au point fixe est rencontré par Taxe instantané OP de l'époque t'y soient Ç, r<, Ç les coordonnées courantes, relativement aux axes principaux d'inertie ; l'ellipsoïde a pour équation :
A? + By)« -h Cî;* = 1,
et les équations de Taxe OP sont :
Soient Ç„ vj,, Ç, les coordonnées du point P que nous appellerons le pôle instantané, ou encore le pôle de la rotation, p, = OP sa distance au centre de l'ellipsoïde, w la vitesse angulaire de la rotation ; on aura :
?j = '5.« = ^ = f^î__±.5L±il ^ p. ,
244 COURS DE MÉCiVNIQUE.
d'où :
V Pi „
avec la relation
d'où :
A;; -h Br,î + Cîî = 1,
PÎ
mais on a déjà :
Ap* + B}* 4- Cr* = 2T,
il résulte donc des deux équations précédentes :
p, [/îï = 0).
Donc :
3o La vitesse angulaire de la rotation est proportionnelle à la longueur du rayon vecteur mené du centre de Vellipsolde au pôle instantané.
Le plan tangent au point P à Tellipsoïde principal a pour équation :
A5;-, + By;yî,-hG1;î, = 1; ou bien, en remplaçant Ç,, r^j, Ç» par leurs valeurs :
^* (A;)Ç + BjYj -f- GrO = 1, (i)
ou encore :
Ajp; + BjY) + GrÇ = 2T.
On voit que ce plan est parallèle au plan du couple résultant; car les cosinus que fait avec les axes la normale à ce dernier plan sont proportionnels à A^), lîry, Cr; donc :
4» Le plan qui touche Vellipsoîde au pd/e instantané est parallèle au plan du couple résultant.
Ou bien :
L'axe instantané est le diamètre co7ijugné du plan du couple résultant, par rapport à Vellipsoîde central.
On voit que le plan tangent dont on vient de parler conserve une direction fixe, puisqu'il est parallèle au plan (lu couple résultant, et que ce dernier a une direction invariable.
Cherchons la distance du point fixe à ce plan tangent; cette distance sera :
= const.
Donc :
5'' Le plan qui touche Vellipsoîde au pôle instantané reste toujours à la rtiéme distance du centre de cet ellipsoïde.
Ainsi, le centre de Tellipsoïde est fixe, le plan tangent au pôle de rotation garde une direction invariable, et reste toujours à la même distance du centre ; donc :
0® Le plan parallèle au plan invariable, qui touche sans cesse Vellipsoîde central, au pôle instantané de la rotation, est toujours un seul et même plan fixe dans Vespace absolu.
On se représentera donc le mouvement du corps en concevant :
1» Que Tellipsoïde central, dont le centre est maintenu iixe, reste en contact avec un même plan fixe;
"29 Qu'il' t()urne à chaque instant autour du rayon vecteur qui va du centre au point de contact;
3<^ Qu'il tourne avec une vitesse angulaire proportionnelle à la longueur même de ce rayon.
Tel est le théorème de Poinsot.
Cherchons l'angle i de Taxe instantané et de l'axe du
couple résultant ; on aura :
d'où :
kpp Bqq Crr 2T
0) cos t = -77- = const.
Donc, /a vitesse angulaire instantanée donne une composante constante par rapport à Vaxe du couple résultant.
48. Développement de la solution. — La suite des points par lesquels Tellipsoïde central vient se mettre en contact avec le plan fixe, étant considérée sur la surface de l'ellipsoïde, y marque la route du pôle instantané dans l'intérieur du corps, et les mêmes points étant considérés dans le plan fixe, y marquent sa route dans l'espace absolu. Soit U la première de ces courbes, que Poinsot a nommée la poloïde, U, la seconde, ou l'herpoloîde. Le lieu des axes instantanés dans le corps est un cône S, ayant pour sommet le point O et pour directrice la courbe U ; le lieu des axes instantanés dans l'espace est un cône Si ayant pour sommet le point O et pour directrice la courbe U,; on peut se représenter le mouvement en faisant rouler le cône S sur le cône fixe S».
49. Équations de la poloïde. — La poloide est le lieu des points de rellipsoïde central pour lesquels le plan tangent est à une distance constante du point fixe 0, cette distance
étant éj
L'équation de l'ellipsoïde central est :
Aa?* + By* 4- Gz* = 1 ; A < B < G,
rr', J/', z' désignant les coordonnées d'un point quelconque de la poloïde ; la distance à l'origine du plan tangent en ce
point est :
on aura donc :
et on a en outre la relation :
On conclut des deux équations précédentes :
fi ""l/A'a?" 4-B»y'«4-C*;î"' ou, en élevant au carré, réduisant et supprimant les accents :
(1) A (G« — 2AT) a?* + B (G' - 2BT) y* -h G (G' — 2GT) s« = 0.
avec la relation :
(2) Aa?* + By' + C^' = 1.
Les équations (4) et (2) sont les équations de la poloïde; (1) est réquation du cône S. On voit que la poloïde est une couibe algébrique.
La distance \/ -jr est comprise entre le grand axe 777 et
le plus petit -—; on a donc :
Kg
G ^[/X' G ^^J/c' d'où :
