G' — 2 AT 2T
C'est encore une ellipse.
La projection sur le plan zOxa pour équation ":
2BT — G* 2T
C'est une hyperbole dont les asymptotes sont les droites :
Fig. 236
Soient OE et OK les deux asymptotes.
Si 2BT — G* > 0, l'hyperbole est située dans l'angle EO A.
Si 2BT— G' < 0, l'hyperbole est située dans l'angle EOC.
Dans le premier cas, la pololde entoure le sommet A; dans le second, elle est tracée autour du sommet C.
Les deux espèces de poloïdo sont séparées par les deux ellipses suivant lesquelles les plans (5) coupent rellipsoïde. L'équation (4) montre que ces deux ellipses égales sont le lieu des points de l'ellipsoïde pour lesquels le plan tangent est à une distance du centre égale à l'axe moyen.
Ainsi, si ^ = A, la poloïde se réduit au seul point A ;
si le corps a commencé à tourner autour de OA, il continuera donc à tourner indéfiniment autour de OA.
Si â-f > A augmente, on a une petite poloïde entourant
le point A.
Si âvf = B, la poloïde se compose de deux ellipses égales
BE, BF; si le corps a commencé à tourner autour de OB, il n'y a aucune raison pour que le point B se meuve sur l'ellipse BE plutôt que sur BF; le corps continuera donc à tourner autour de OB.
Si ây > B, la poloïde passe
p. o-î"» dans le fuseau EBF, et entoure
o * le point C; elle finit par être
une petite courbe autour de C, et le point C lui-même
pour 2^ =^ C.
Le corps ayant commencé à tourner autour de OC, tournera donc indéfiniment autour de cette même droite.
50. Stabilité des axes principaux. — Si l'axe a été écarté un peu de OA en 0 A', le point A' se mouvra sur la poloïde
A'A| qui passe en A', l'axe ne fera que de petites oscillations autour de 0 A ; il y a stabilité.
De même pour OC.
I] n'en est pas de même pour OB; l'axe étant un peu déi-angé, ira décrire une courbe étendue, soît autour de O A, soit autour de OC. Si cependant il est écarté en B' et que les conditions initiales tendent à le ramener en B, il linira par revenir en B.
■oaTMnatit d'an corpi lolide homogine pelant, de rérolation, fixé par an point de ion aze de flgnre.
51. Ce problème a été traité pour la première fois par Lagrange, puis par Poisson, qui ne paraît pas avoir eu connaissance de la solution de Lagrange.
Soient 0 le point lixe, OX, OV, OZ trois axes rectan-
gulaires fixes, OZ étant vertical et dirigé vers le bas. Soient, à l'époque i, Or la position de l'axe de figure du corps, Ox et 0(/ celles de deux axes perpendiculaires à Oz liés au corps; le centre di' gravité G est sur O;:, nous fei-ons OG := ft, et nous désignerens par ix la masse du coips.
Traçons une sphère de rayon 4, ayant pour centre le point 0. Cette sphère coupera les plans xOy^ XOY, ZOr, suivant les arcs de cercle Na;j/, NXY, Zz. Posons :
Pj Q} ^ ayant la signification ordinaire, nous aurons :
p sin 9 -H j cos 9 = sin 6 -^^
(!) { îsin9— pcos9 = — ,
do ^ dà
Le poids G A du corps étant parallèle à OZ, ses composantes par rapport aux axes Ox^ Oy seront :
X, = piff cos (Z,a?) = |JL(/a^ suivant Ox, Yj = jjLff cos (Z, y) = [f.gb\ suivant Oy .
Soient L, M, N les moments de ce poids relativement aux trois axes Ox^ Oy, Oz, x^, j/„ z, les coordonnées du point G; on aura :
L = yjZ, — z,Y»; M = 2,X, — a?,Z,; N = a?, Y, — y,X,;
ou, à cause de :
^i =0, y» = 0, z, = A, L = — AY,; M = 4-AX,; N = 0;
ou, en remplaçant x^ et y, par leurs valeurs ci-dessus :
Les triangles sphériques ZNx, ZNy donnent du reste : a' = — sin 9 sin 6; 6" = — cos 9 sin ô; c' = cos 6, on aura donc :
L = \Lgh cos 9 sin 6; M = — [j.yA sin 9 sin 6; N = 0,
iJ52 COURS DE MÉCANIQUE.
et les équations d'Euler deviendront, en remarquant que l'on a B = A, parce que le corps est homogène et de révolution autour de 0 z :
A -^ -h (G — A) qr = [i,gh cos <p sin 6,
(2) . A ^ — (G — A) pr =— [xjA sin 9 sin 6.
On est ramené à intégrer les six équations (1) et (2); mais, dans le cas actuel, on peut suivre une méthode plus simple.
La dernière équation (2) donne d'abord, en désignant par n une constante :
Le travail de la force GA est \j.g (Z — Z^), en désignant par Z la coordonnée du point G rapportée à Taxe 0 Z ; on a :
Z = A cos 0.
Le théorème des forces vives donne donc :
Ap' -f- Bj* -+■ Gr* = i\xgh cos 6 -+- coiist. ;
ou bien, à cause de A = B et r = const. :
(3) A (p* -h q^) = 2|ji.ff A cos 6 + a,
a désignant une constante arbiti'aire.
Le moment de la force G A par rapport à OZ étant nul, on en conclut que pendant tout le mouvement, la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à cet axe OZ est constante; or, cette somme a aussi pour expression :
Apa' -h Bqb' -hCrc';
car c'est la projection sur OZ de Taxe du couple résul-
tant, et les projections de cet axe sur OXy Oj/, Oz sont Ap, Bg, Cr, et les axes Ox, 0//, Oz forment avec OZ des angles dont les cosinus sont a", h', c. On aura donc, en remplaçant a\ b\ c* et r par leurs valeurs, et désignant par ,3 une nouvelle constante arbitraire :
(4) A sin 0 (p sîn 9 -h g cos 9) = C» cos 0 -h p.
Si, dans (3) et (4), on remplace/) et q par leurs valeurs (d), on trouvera :
A sin' * ( ;i-) ) + ^ jTî = Sii.j'A cos 9 + a.
(6) A sin» 0 --^i = Cw cos 6 4- ?.
Ces équations feront connaître tj; et ô en fonction de <; elles donneront donc le mouvement de Téquateur du corps. On en tire :
rfij; Cw cos 6 -h 3
dt "" A sin» 6
\^^-rk (Gw cos 6 -+- p) + A .^, = 2\kgh cos 0 -h a. Posons cos 0 = ?/ ; on trouvera :
(7) A« ^ = A (1 - M«) {î^xghn + a) - (Cww + g)',
dû
d^ Cnw + p
on tire ensuite de la dernière des équations (4), en y rem-
dà plaçant r par n, cos 0 par w, et ^ par sa valeur (8) :
do Cnu -\- ^
L'équation (7) d'où Ton déduit :
(iO) dt=:± ^'^''
fei'îi connaître u on fonction de /; (8) et (9) donneront ensuite '> et 9 en fonction de n. On est conduit à des intégrales elliptiques.
