Discussion. — Soit posé

(11) /"(m) = a (1 — M«) {i[Kghu + a) - (Cnu -f- g)*. On aura :

Soit «0 la valeur initiale de u; remarquons que d'après

(12) on doit avoir /*(u,) > 0, ce qui est aisé à vérifier, car on trouve par des calculs faciles :

/•(Mo) = A' sin* Oo \ (pl -h ql) — (Po sin 90 — ^0 cos 90)* j

= A* sin» Oo j Po cos 9o -h Jo sin 90 (' > 0.

On trouvera en donnant, dans Texpression (11), à u les valeurs — 00 , — 1, u^j 4- 1 :

/(- 0^) > 0, /(- 1) < 0, fi Uo ) > 0, fi-h 1) < 0.

Donc, réquation /" (?0 = 0, qui est du 3^ degré, a ses trois racines réelles et comprises, Tune entre — 00 et — 1, la suivante entre — 1 et i/^? ^^ dernière entre w, et + 1 ; soient — ^(„ u' et u' ces racines, n' < u". On pourra écrire :

f{ti) = 3^[Kg\ {u — m') (m" — u) (M + M,),

u étant compris, par sa nature, entre — 1 et + 1, on voit que le produit (m — u') (u' — u) devra toujours être positif; donc u oscilleVa entre u' et u\

On déterminera les constantes a et g, d'après les conditions initiales, par les formules (3) et (4) ; on pourra supposer que la valeur initiale de ç est zéro, c'est-à-dire que l'on aura pris pour axe Oo: lié au corps, la position initiale de ON; on aura ainsi :

(14) ^ a = A (pî -+- ql) - 'i[>.gh cos 6,, ^ ^ i g = AjoSin 6o — Cw cos 6^^.

Examen du cas où p^ = 0^ q^ = 0. — Le corps est alors animé d'une rotation initiale autour de son axe de figure, et abandonné à lui-mtime. Les formules (14) ou plus simplement les formules (5) et (0) donnent :

a = — 2|xgf A cos ©0 = — Sjxj'A t<<^, P = — Cn cos e<^i= — C/Mv

On trouve :

(15) f{u) = (lé - Ho) I 2 A v^gh (1 - m») - Cn» (u - u,) (.

Ici, on a :

m' = Uq ; m' > tt' > tto,

(,6) \/^dt=±— ^"

^ ^ |/(W — Mo) (îi' — U) {u + !*,)

On a, pendant tout le mouvement :

Mo < u < u\

On commencera à prendre le signe 4- dans la formule (16) quand u augmentera de u^ à u\ puis le signe — quand u diminuera de u' à i/^, etc. La formule (8), qui devient, dans le cas actuel :

/JTk dt};CM(M — Mo)

^*'^ (It "" A(l— M*j '

montre que si n est positif, -, j, est positif et <j/ croît sans

cesse; le mouvement de précession est rétrograde; il serait direct, si n était négatif. (Remarquons que n est la vitesse angulaire de rotation initiale autour de OG.)

La formule (17) donne, en y remplaçant dt par sa valeur (40) :

Le point z décrit une certaine courbe sphérique; cherchons l'équation de la projection de cette courbe sur le plan horizontal XOY; soit P la projection du point z, X et Y les coordonnées de ce poiiit P ; on aura :

X = OP cos POX; Y = OP sin POX,

OP =:sin 6 = Kl — ti*.

La droite ON, perpendiculaire sur OZ et Oz, est perpendiculaire sur le plan ZOz, donc sur la droite OP; ainsi PON = 90o; donc POX = 90 — ^ et :

X = |/l - u' si

sm q/;

Y = |/l — ti» cos *.

u est déterminé en fonction de ^ par l'équation (18); les deux équations (19) donneront donc, en fonction de «J/, les coordonnées d'un point quelconque de la courbe cherchée.

Le rayon vecteur OP = |/l — tï* est toujours compris entre |/l — ir- et |/l — ni .

Soit V l'angle que fait la tangente à cette courbe avec le rayon vecteur OP; on a :

tgV

1 — îi' </^^ 11 du

ou bien, en remplaçant p par sa valeur (18) :

(20) tgV = T— ^^— 1/ . "7"' ;.

a Kap^i/ A y C« - «) (« + «.) .

pour M = tfo, on a V = 0; pour ti = tt', ^ = 5- La courbe rencontre donc normalement la circonférence

rig.239

0(i ol^/|^,-

oF «i^-t;-'

extérieure, tandis qu'elle est tangente à la circonférence

intérieure.

Si nous partons du point E, où u = u^^ le rayon vecteur diminue jusqu'en F; il augmente de F en G; à partir de G, il doit diminuer, tout en continuant à tourner dans le même sens; le point G est donc un point de rebroussement.

Du cas où la vitesse de rotation n est très grande. — En se reportant à l'équation (15), on voit que u' est l'une des racines de l'équation :

2A [xflfA (1 — tt') - C'n* (M - u,) = 0,

Despevrous. — Mécanique. H. 17

258 COURS DE MÉGANIQUE.

qui peut s'écrire :

2A \i,gh ,. ,.

'* - ^'o = -^f~- (1 - ti*).

Le coefticient ^^ ^ • étant très petit, la quantité w, est

très grande, et u' diffère peu de «/^î ^* qui doit toujours être compris entre u^ et u", différera très peu de w„ et 0 de 0.; l'angle que fait l'axe du corps solide avec la verticale, sera sensiblement constant.

On peut, dans ce cas, effectuer les' intégrations par approximation. Nous partirons des formules ci -dessous, dans lesquelles on a remis 0 au lieu de u :

A sin 6 rfô at=z±

Kcos 6 -- cos Oq yi[f.ghA sin* 6 — C'n' (cos 6 — ces 6^,) d^ Cn (cos e — cos 6o)

dt A sin* 6

Nous poserons :

A: sera une petite quantité, puisque n est très grand. Nous aurons :

^'* |/cos ô — cos ôo Vik sin' Q — (cos 6 — cos ô^>)

Nous savons que 0 diffère très peu de Oo, pendant toute la durée du mouvement; nous ferons donc :

0 =? Oo — w,

et tv sera très petit.

Nous aurons, en nppli(|uant la formule de Taylor :

cos 0 = cos (Oq — fr) = cos 6^ i- w sin 0^, en négligeant «p*, 2/t sin' 0 = 2* sin' O^, en négligeant tck^

— sin 0 r/e = (/.cos 0 =:*sin 0^ dw^

et la formule (23) (levien<lra, en y prenant le signe — , aux environs de < = 0, puisque 0 commence à décroître :

. A dw A dw dt

Cm |/^, |/2a. sin 0^ — w ^'' Vk' sin* 6, — (A sin 6,-

-wy

ou bien :

k sin 6o — w

A / /A- sin ôo - //A« V \ Asine, ;

d*où, en intégrant :

-T- arc cos — , ." — -h const.

A k sni Qq

On doit avoir, pour < = 0, 0 = 0, w = 0 ; la constante est nulle; on a ensuite :

*sinO„--^r Cnt

k sin Oq a

d'où :

(24) w = ik sin OoSin'^i

0„ — 2t sin On sin* -^-r-»

(2o) 0 = Oo -p7^^, sm- ^-^ / = Oo -+- H,

en posant :

^ 2A u.gh sin Oo . , Gw /

La formule (21) donne ensuite :

d^Cn tP sin 0, '•* ' dt~ k ' sin' 0 ■

On peut remplacer sin' 0 par sin' e„ car cela relent à n^liger w' dans le second membre, ce qui a déjà été fait;

remplaçant en outre w par sa valeur (2i), il viendra :

d^ ^, Cm . Hm , Cm A Cm Cn , dt A 2A A A A

d'où :

d> = - A: M? — A sin -- ty

(^'^ *-C^^"-CVr*-'^"Â^'^-Cn'- ^'

en posant :

„, [Kgh A . C ^

il n'y a pas de constante à ajouter, car on a bien ^ = 0 pour t = 0.

Enfin, la formule

do ^ dà

-i = M + cos 0 -rdt dt

dà va nous donner, en y remplaçant «^ par sa valeur (26) :

do Cm sin Oo cos 0

dt A sni' 0

On doit remplacer dans le second membre ^-t-t par . ,/;

^ sm* e ^ sin' 6^'

en mettant en outre pour w sa valeur (24), il viendra :

do ûf Cm r. • î C ^ A Cm

--I = M -j- 2A: -,- cos Oo sin* - m f = m h r— cos Oo

at A A A

*Cm ^ C T— COS Go cos — ntj