Problème de la toupie. — Un corps soUde
pesant, homogène, de révolution autour d'une droite le passant par son centre de gravité G, a sa pointe I assujettie à se mouvoir sur un plan Fiq 2*2 i horizontal parfai-
p tement poli MN.
On demande d'étudier son mouvement.
Les forces qui agissent sur le corps sont: le poids GP = [ig du corps, appliqué au point G, et la réaction normale IQ = Q du plan, laquelle est verticale.
Prenons trois axes rectangulaires fixes, 0?, Oyj, 0;, l'origine 0 étant dans le plan MN, et Taxe OÇ étant vertical et dirigé vers le haut; soient, relativement à ces axes, Ç, y;, Ç les coordonnées du point G. On aura, par le principe du mouvement du centre de gravité :
d'où, en désignant par a, g, a', 3' quati'e constantes arbitraires :
(^) « = ^ Ct + ^)-
Les équations (1) montrent que le point H, projection du point (I sur le plan fixe, est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme. L'équation (2) fera connaître la réaction normale du plan, lorsque ; sera connu en fonction de /.
Cherchons le mouvement relatif du corps autour du point G : Gz est un axe'principal d'inertie pour le point G; deux axes quelconques Gx et G/y formant avec lui un système rectangulaire seront aussi des axes principaux d'inertie. Les moments d'inertie qui répondent à Gx et Gj/ seront égaux entre eux; soient A leur valeur et C le moment d'inertie relatif àGz,
La troisième équation d'Euler, celle qui correspond à G c, est en général :
N désignant la somme des moments des forces extérieures
DYXAMigrE. 207
par rapport à Gz; or, les deux forces extérieures GP et IQ rencontrent Gr; leurs moments sont nuls; donc :
on a (lu reste :
et l'éciuation (3) donne :
doù, en désignant par n une constante :
Appliquons le théorème des forces vives.
Soit V la vitesse du point G ; la force vive T du corps sera :
ou, en remplaçant 5 et r< par leurs valeurs (1) :
T = IX (a« -I- r- + J;i) -H A {f + q') 4- Cn\
Soient JK et Ço '^^ valeurs do p et q à l'époque initiale f^; la variation de la force vive, pendant le temps t — t^, sei*a :
^ - ''' = ^ [0 - {ÏÏ2 "■ ' ^'' "- "' - "' - ''^-
Cherchons les travaux des fondes extérieures pendant le même temps; le travail de la l'éaction normale Q est nul; celui du poids est ixr/ (ï^ — r); on aura donc :
ou bien :
-i- A (/>' + q'--pl - 7i) =2;xj/,(i;, - 0.
268 COURS DE MÉGANIQUE.
Nous supposerons qu'à Tépoque <,, le centre de gravité du corps a été maintenu immobile, et qu'on s'est borné à imprimer au corps un mouvement de rotation autour de Gz ; n sera la \1tesse angulaire de ce mouvement, et nous aurons :
a = 0, p = 0, Po = 0, îo = 0»
les équations (1) et (5) donneront ;
(6) ,xg + A(p' + ?')=2,xp(Ç.-C).
Le point H restera fixe pendant tout le mouvement, et le point G ne quittera pas la verticale HZ. Posons :
