GI
ZG:r = e;
soit 6. la valeur initiale de 0, nous aurons :
(7) î = / cos 0, et l'équation (6) donnera :
(8) [lP sin' e -y-^- -I- A (/>* + g*) = 2 [xj'/ (cos % — cos 6).
Appliquons maintenant le théorème des moments des quantités de mouvement, dans le mouvement relatif, à l'axe GZ de direction invariable.
Les deux forces extérieures IQ et GP étant parallèles à GZ, leurs moments par rapport à cet axe sont nuls; donc,^ dans le mouvement relatif, la somme des moments des quantités de mouvement de tous les points du corps par rapport à GZ est constante; or, cette somme a pour
expression :
kp cos (a?,Z) -H B} cos (y,Z) + Cr cos (z,Z)
= kp (— sîn 9 sin 6) -h Ag (— cos 9 sin 6) + Cn cos 6.
Nous aurons donc :
— A sin 6 (p sin 9 + g cos 9) + Ci* cos 6 = constante.
Pt et g, étant nuls, la constante est égale à Cn cos 6,; donc :
(9) A sin 0 (p sin 9 4- g cos 9) = Cn (cos 6 — cos %).
Or, on a :
p sin 9 4- î cos 9 = sin 6 -.- »
d'où:
de — p cos 9 -f- ? sin 9 = ^ »
et les équations (8) et (9) peuvent s'écrire :
(fl) A (^^ + sin'e^j -h ixPsin«e — =2|xff/(coseo-cose);
d6 (ft) A sin* ^ ~ = Cn (cos 0 — cos %).
Ces deux équations donneront 6 et ^J; en fonction de <; la première montre que Ton a :
cos % — cos 6 > 0, ô > 60.
Ainsi, Tanglè 0 ne sera jamais inférieur à 6,; si Ton suppose n > 0, Téquation (b) donne :
dt ^ ' donc ^ ira sans cesse en diminuant.
En éliminant -77 entre (a) et (b), on trouve :
„ , ^ Ka 4- 11./* sin« 0 sin 0 dO
1/ (cos Oo — cos 0) 2 ;/.<// sin* 0 r- (cos Oo — cos 6)
on aura ensuite :
rfi}; — Cn (cos Oo — cos 0) ^''^ d7 ~" A sin» 0
A Torigine du mouvement, 0 est égal à 0/, on a vu que 0 n'est jamais inférieur à 0/, donc 0 commence à croître, et dans la formule (a'), on doit commencer par prendre le signe +. Posons :
cos 0 = î* = j:
nous aurons :
, k'A 4- |x/* (1 — M») du
y/ (H, - u) ^2^».gl (1 - n«) - -'^- (Mo - n)]
la formule (c) donne / en fonction de u par une intégi'ale idtra-ellipti(iue.
Discussion. — Posons :
f{u) = i'^xgl (1 - n') ~ ^ (Uo ~ M), nous trouverons :
Pour f/ = -l, f(u) = -^\l-\-v,) <0,
« = ii„ f{ti) = 'i-^gl (1 - «;) > 0,
Cm'
Donc, réquation f{u) = 0 a ses deux racines réelles u' et u' :
On pourra écrire :
f{u) = — 2|i.flf/ {u — n') (m — u"), et la formule (c) deviendra :
dt = '-
\/âA-,-^â^(l-t*V/«
"iv^gi ig
Le radical du dénominateur doit être réel; u' étant > 1, u' — w sera toujours positif; on a vu (|ue u^ — u est toujours positif; on devra donc avoir constamment :
u — u' ^ 0, d'où :
Soit 0' la valeur de 0 correspondante au'; on aura :
Oo<0<e',
0 oscille donc entre 0^ et 0'.
Courbe décrite par la pointe de la toupie. —
Soit p = III, et (I) l'angle que fait la droite HI avec l'intersection du plan MN etduplanZGY(GX, GY étant les deux axes fixes c|ui avec GZ forment un p. 243 système rectangulaire); p
" et 0) seront les coordon-
nées polaires du point I, II étant le pôle.
Construisons une figure sphérique, sur une sphère de rayon 1 , ayant le point G pour centre ; nous aurons :
Zr = 0; 2ZY = o),
Or, A est le pôle du grand cercle Zz;
X est le pôle du grand cercle ZY; Xlonc :
On a d'ailleurs, dans le triangle rectangle IHG :
Fig.244
p = /sinô = lKl — 1<*,
donc p sera compris entre l sin 0^ et l sin 0'.
Ainsi, la courbe considérée sera comprise entre deux circonférences ayant pour centre le point H, et pour rayons :
HB = /sinôo; HB' z=:/siaO'.
Soit £ Tangle que fait avec le rayon vecteur la tangente à la courbe, en un point quelconque; on aura :
ou bien :
(là
u du
du
formule dans laquelle on remplacera -tt par sa valeur tirée
dà de (C), et --jT par sa valeur
Cm (Uq — u)
conclue de (b') ; on trouvera ainsi :
A / .. .X 1/mo — «
Cn . / A / ,, ,,
l^{ii — //') in" — u) On en conclut :
pour M = î/p, s = 0,
M=:tt' £ = -•
Donc, la courbe est normale à la cii'conférence HB, aux points où elle la rencontre, tandis qu'elle est tangente à la circonférence HB'; la courbe a donc la forme indiquée par la figure 244.
nF.spKYROrs. — Mécanique. H. 1*^
