Extension des théorèmes généraux aux percussions
— Considérons un système de points matériels en mouvement; faisons agir à un moment donné /<„ des percussions sur ces divers points, pendant le temps t; nous aurons :
d'où, en multipliant par dt et intégrant pendant la durée très courte de la percussion :
,, dx ^ (dx\ ^^^ r''^\ ,.
Les forces ordinaires disparaissent de cette équation, car,
X d< est très petite;
il n'en est pas de même des forces instantanées, et l'on a :
(«) Sm-^--^m(-j=v:2^.'
ce que l'on peut écrire, en désignant par x^^ j/,, z^ les coordonnées du centre de gravité, et par M la niasse du système :
Donc : le changement de vitesse produit par les percussions sur le centre de gravité du système est le mcyne que si toute la masse y était concentrée, et si toutes les percussions extérieures y étaient transportées parallèlement à elles-mêmes.
Remarque. — On peut écrire l'équation (a) et les deux
autres pareilles comme il suit :
Extension des équations des moments. — On a relativement à un axe lixe quelconciue réquation :
on en conclut, en multipliant par dt^ et intégrant de t :^^ t^ à i = f 0 + T :
„ / ây dx\ „ / dy dx\
on regarde les déplacements des divers points comme insensibles, pendant la durée de la percussion ; donc :
f{xY — y\) dt = X Ndt — yfx dt.
Pour les forces ordinaires, les intégrales JX dt et jY dt
seront insensibles ; pour les forces instantanées, il n'en sera pas de même ; on aura :
Cxdt = X,; fYdt = \\,
et il viendra :
Donc : V accroissement de la somme des moments des quantités de mouvement, par rapport à un axe fixe, est égale à la somme des moments des percussions par rapport au même axe.
I/équation ci-dessus et les deux autres pareilles peuvent
s'écrire :
59. Mouvement d'un corps solide autour d'un axe fixe, soumis à des percussions et calcul des percussions exercées sur Taxe. — Prenons l'axe de rotation pour axe des ;:; soit u)o la vitesse de rotation à l'époque t où les forces instantanées viennent à agir; on peut obtenir la fixité de Taxe en fixant deux points 0 et 0' de cet axe, situés à une distance donnée, 00' = /i. On introduira les réactions de ces points, et le corps pourra être considéré comme libre; lorsque les forces instantanées viendront à agir, des pressions instantanées s'exerceront sur 0 et 0'; nous introduirons des réactions égales et contraires aux percussions correspondantes. Soient A, B, C les composantes de cette pcM'cussion pour le point 0, A', B', C pour le point 0'. En appliquant les équations du numéro précédent, nous aurons :
dt A^w-/=xy, + B+B',
Ai:»«'î^ = i:z, +c +C',
al
iY,) — AB',
(dy dx\ ^, , -. „ .
Xj, Y„ Z, désignent les composantes de la percussion qui ajjfit sur le point x^ j/, ::; les S des premiei-s membres s'étendent à tous les points du corps; ceux des seconds membres, seulement aux points où sont appliquées des percussions.
Les premiers membres peuvent être simplifiés par remploi
des coordonnées polaires. Par. un point quelconque du corps,
posons :
a; = r cos 0, y = r sin 0, on aura :
;: = const. w z= -— >
al
dx dy dz ^
Soient M la masse du corps, a\, j/„ z^ les coordonnées de son centre de gravité; on trouvera :
2m ^ = — w Imy = — w My,, Mm ^ = — My, Aco,
Im -^ = 4- co Itnx =4-0) Mjîp Mm î-y = + Ma?, Aw, al nt
(dx (lz\ \ / dx dz\
On ti'ouvera donc, au lieu des équations (1), les suivantes : (2wir»)A(») =2(a?Y,— yX,),
