AB' = i: (yZ, — -Y,) 4- ÇLmxz) Aw, ^^ ' C 4- C = ~ 2Z
B4-B' = — 2Y, 4- Mir^ Ao), '\ A4- A' = — liX, — My/Au).
Ces équations font connaître A', B', A, B et la somme G-hC.
Supposons qu'il n'y ait de percussion qu'en un point du corps, faisons passer le plan des xu par ce point dont les coordonnées seront :
- = 0, x=jL, y = 3,
les équations (2) deviendront :
(X/wr") Ao) = aY, — 3X„ . — AA' = — aZ, 4- {"Hmyz) Aw, \ -H AB' = {iZ, 4-(lm.rc) Aw,
B 4- B' = — Y, 4- Mr, A<o,
A 4- A' = — X, — My, A(i),
La vitesse angulaire sera augmentée de Aw = — :^; — r~^' après la percussion.
Conditions pour que Taxe n'éprouve aucune percussion.
— Il faut faire dans les formules précédentes :
on trouve ainsi :
/ . aY. - pX,
\ Imyz = 0,
(4) ' Zmxz=0,
\ Y, — Mir,A(D = 0.
On voit d'abord que la percussion doit agir dans un plan perpendiculaire à Taxe; ensuite, que Oz doit être Tun des axes principaux d'inertie relatifs au point 0. Pour interpréter les deux dernières des équations (4), faisons passer le plan des zx par le centre de gravité G du corps; nous aurons :
X, = 0; avec cette valeur de X„ l'expression ci-dessus de Aw devient :
(5) Aw = -^^i
(6) Y, = Ma?, Ad).
X, = 0, montre que la percussion doit être perpendiculaire au plan zOG, mené par l'axe de rotation et le centre de gravité G du corps; en reportant dans (6) la valeur de Aw tirée de (5), on trouve :
y = Ma?, • - — 4'
d OU :
Imr*
(7) xx,= —'
Soit MK' le moment d'inertie du corps relativement à une parallèle à Taxe de rotation menée par le' centre de gravité ; on aura :
et la formule (7) donnera :
En résumé, on a les trois conditions suivantes, pour que Taxe n'éprouve pas de percussion :
lo La direction de la percussion doit être perpendioiilairc au plan qui pa^se par Vaxe fixe, et par le centre de gravité (lu corps.
2» Cet axe doit être un des axes principaux pour le point on il renco7itre le plan qui lui est perpendiculaire , et qui contient la force instantanée,
3t> La distance de cette force à Vaxe doit être liée à la distance du centre de gravité d cet axe par la formule :
xa?, = Swr, ou a = a?, h — »
^mr* désignant le moment d'inertie du corps par rapport à Taxe fixe, et MK* le moment par rapport à une parallèle à l'axe fixe mené par le centre de gravité.
On appelle centre de percussion le point auquel la force instantanée doit être appliquée dans le plan zOG, pour que Taxe n'éprouve aucune percussion; on voit que, si Ton suppose le corps pesant, et qu'on le suspende à Taxe Oz rendu horizontal, le point 0 sera le centre de suspension, et le centre de percussion coïncidera avec le centre d'oscillation.
Si Taxe fixe pusse par le centre de gravité, il éprouveiti toujours une percussion; car les formules :
a?, nous donnent, dans le cas actuel, où a;, = 0 :
La percussion qui frappe le corps devrait donc être nulle, et le centre de percussion serait à l'infini.
Récipuoquemp:nt. — Si le corps est en mouvement autour de Taxe et a une vitesse angulaire w, on pourra l'aiTêter brusquement, sans qu'il en résulte aucune percussion contre Taxe, en appli(|uant au centre de percussion une force instantanée égale à Mw^,, perpendiculaire au plan mené par ce centre de percussion et Taxe fixe.
Dans rindustrie du fer, on emploie des marteaux qu'une roue à cames, animée d'une grande vitesse, soulève, et qui retombent ensuite librement sur l'enclume; le marteau peut tourner autour d'un axe fixe; l'action de la came sur le marteau i)eut être assimilée à une percussion; le point où le mai'teau subit le choc de la came doit être le centre de percussion, afin que l'axe fixe autour duquel tourne le marteau, n'ait pas à subir des percussions qui ne tarderaient pas à mettre l'appareil hors de service.
Remarque. — Trouver les conditions pour que tous les points de Vaxe sauf un n éprouvent aucune percussion. — Reprenons les équations générales :
Iwr'AcD =aY. — pXj, (/,) \ 4- hB' 1= 3 Z, — yY, -+- {Imxz) Aw,
' B 4-B' =: — Y, -h Ma*, Aw,
A -h A' = — X, — My, Ad),
OÙ nous n'avons fait aucune hypothèse sur les positions des plans xOy et xOz. Nous voulons que Ton ait :
Remarquons que si cela a lieu pour un point, cela aura lieu pour tous les points de 0;:, sauf pour le point 0. Les trois premières des équations ci-dessus donnent :
/ ^Z^ — yY,= — (Imxz) A(i),
(c) J yX, — aZ. = — (Imyz) Ad),
( aY, — PX,= -h Zm (a?* + y*) Aw.
L'équation de l'ellipsoïde central du point 0 est :
F (5,^hO = ? 2m (y* -+- z^) + t)* 2m (s* -+- a?*) + î« Sm (a?* -h y*)
— 2?)!; 2my2 — 2!;; Zmzx — 2Çy) 2:ma?y — 1=0.
Le plan diamétral conjugué P, de Taxe Oc a pour équation :
ou bien:
; Im (x- -h y') — r, Zmyz — ; Zmxz = 0, ou :
(d) ' fl; + 6y; 4- c; = 0, en faisant :
On déduit des écjuiiliuns (c) : ^
3Z. - vY. >;X. - aZ, a Y. - gX. ^'^ a -—b 1
Telles sont les deux conditions cherchées; on peut les rem-
placer par les deux suivantes :
{f) aa + 6^ + CT =0,
(s) aX,+ 6Y,+ cZ,= 0.
{() exprime que Je point d'application de la percussion est dans le plan (P) ; {g) que ce plan est parallèle à la percussion ; donc, en somme, les conditions cherchées sont que la percussion doit ôtre contenue dans le plan diamétral conjugué (le l'axe de rotation, relativement à l'ellipsoïde central du point 0.
L'origine de ce théotème est que si le corps a un point fixe O, et s'il est soumis à une percussion AP, il tournera d'abord, comme on le veira plus loin, n» 61, après la percussion, autour du diamètre conjugué du plan AOP, relativement à l'ellipsoide central du point 0.
60. Centre de percussion d'une surface plane. — Consitlérons une surface plane S assujettie à tourner autour d'un axe fixe Oz, situé ila)is son plan; la surface est d'abord inunobile; on ilemamJc en quel point de la surface doit frapper une percussion, pour que l'axe n'éprouve aucune percussion . Ce point porte le nom de centre de percussion de la surface.
Prenons le plan de la surface S pour plan des xz ; fixons deux points 0 et O' ■ ■ ■ . . „ M de l'axe; , introdui-
sons les réactions fia. 2^6 instantanées de ces
deux points ; ou plutAt les jiercussions coirespoudanlcs (A, lî, C en O, A', U', C en O');
nous aurons :
ASm^ = X, + A + A', al
at \lmp =Z, + C + C',
En représentant les composantes de la percussion par X„ Y„ Z„ et les coordonnées de son point d'application par a, g, y; on aura du reste :
Après le choc, la surface tourne autour de Oz avec une vitesse angulaire w; les vitesses de tous les points sont parallèles à Oj/, et Ton a :
dt dt dt
Par conséquent :
\Zm ^' = 0; A^w ^^ = (o 2mJ^: A:^w ~ — 0. dt ' dt dt
(dz dy\
^„ / rf.r dz\ .
. „ / (Iv dx\
En substituant dans (1), et faisant :
il vient :
X, =:0; tùlmx = Y^; Z, = 0, — 0) Imxz = — Y Y, ; o) Zmx^ = aYi-
La percussion doit donc être parallèle à 0 j/, et on aura pour son point d'application :
Imx* • Imxz
Zéinx
Imx
La vitesse angulaire de la rotation sera
Imx
