Pendule balistique. — Le pendule balistique est
Kg. 247
oy
destiné à mesurer la vitesse d'un boulet à sa sortie du canon. Il se compose d'un mortier en fonte fixé à un cadre
de suspension en fer, lequel peut osciller librement autour d'un axe horizontal 0. Le mortier renferme une matière compressible dont la fonction est de recevoir la vitesse du projectile et de Tamortir, sans que la rupture de Tappareil puisse avoir lieu; cette matière compressible est générale ment de la terre ou du sable ; on tire à bout portant ; après le choc, le pendule s'élève d'une quantité que Ton mesure; il s'agit d'en déduire la vitesse du boulet.
Nous pouvons concevoir que les choses se passent de la manière suivante; au commencement du choc, le pendule est en repos, le boulet aussi en C ; brusquement, on imprime à tous les points du boulet des vitesses égales à V, et parallèles à l'horizontale Oy; alors, l'ensemble du pendule et du boulet prend un mouvement de rotation autour de l'axe horizontal Oz de suspension; nous aurons, en désignant par T la durée très courte du choc :
H^'i-'iD-'-H^^'-'f^'"
ou bien, en remarquant que :
X = 0 et
pY dt = Y.,
en désignant par Y, la percussion appliquée au point x, y
Soit d[h l'élément de masse du boulet; on aura :
(2) Sa? Y, = Z\x d[x = \lx dj/. = Vi/./",
en posant OC = /", et désignant par jjl la masse du boulet.
En représentant par w la vitesse angulaire, après le choc,
du mouvement de rotation de l'ensemble du pendule et du
Despeyrol's. — Mécanique. U. id
l)Oulet, par ^mr* le moment crinertie de cet ensemble par rapport à Taxe de rotation Oz, on a :
(1) devient, en ayant égard à (î2) et (3) :
d'où :
(4) \ = —^lmr\
On connaîtra donc V, si Ton détermine w, S))?r* et f; f se mesm^e aisément .
Détermination de w. — Soit l la longueur du pendule 0 simple synchrone an pendule composé, y corn-
pris le boulet; soit OMo = l\ prenons un point pesant M^, relié au point 0 par une tige sans masse OM^; la vitesse initiale i\ du point M, sera :
1^^ ^ le point matériel va décrire l'arc de cercle M^M;
FiQ 246 soit V la vitesse de ce point quand il sera en M, on aura :
v' — tî = ~2flf XMoH,
ou bien :
t'» — r; = — 25f/(l — cosO),
d'où :
t?' = CD*/* — 4jf/sin* -;
le pendule s'élèvera jusqu'à ce que l'on ait i' = 0; soit a la valeur correspondante de 0 ; on aura donc :
0 = ù)'r — 4fy/sin«|,
d'où :
=2y/fsi.^
Oïl mesure l'angle a sur le cercle gradué EF, le long duquel se meut un curseur que l'aiguille E pousse devant elle, aussi longtemps qu'elle monte.
Il faut donc déterminer Z; pour cela, on fait osciller tout l'appareil, pendule et boulet, et on détermine la durée T des petites oscillations ; on a ensuite : #
d'où :
Il faut encore calculer ^mr*\ soient a la distance du centre de gravité du système à l'axe Oc, M la masse du système ; on a :
d'où :
(7) Zmr' =iVlal.
En tenant compte de (5), (G) et (7), (4) donne :
On peut encore écrire, en désignant par P le poids du pendule balistique, augmenté de celui du boulet et par p celui du boulet :
(8) V = ?,T?«sin?, ^
et tout est connu dans le second membre de cette formule. L'appareil est construit de façon que le point C soit le
centre de percussion; autrement, l'appareil serait l'apidenient mis hors (Vusage.
62. Effet d'un nombre quelconque de percussions sur un corps solide fixé en un de ses points 0. — Soient, au moment où les percussions viennent à agir, O.r, O//, Oc les positions des axes principaux d'inertie du point O; nous savons que Taccroissement de la somme des moments des quantités de mouvement des divers points du corps, relativement à un axe fixe quelconque, est égal à la somme des moments des percussions par rappoi't à cet axe; or, les sommes des moments des quantités de mouvement relativement à Oo;, Oj/, Oz sont égales respectivement à A/j, Bç, Cr; si donc on désigne par L, M, N les sommes des moments des percussions par rapport à ces mêmes axes principaux, on aura :
AAp = L; BAry = xM; GAr = N.
Et, si j)„, (/j, i\ désignent les valeui's de p^ (/, r avant les percussions; p„ ^,, r, ces valeurs après, on aura :
P. =Po + ^; îi = îo-^g; '*» = ^o-^Q-
Les valeurs des angles <p, '^, 0 sont les mômes avant et après les percussions :
En traitant les percussions comme des forces, et les transportant parallèlement à elles-mêmes au point O, chaque percussion donnera une force et un couple; tous ces couples se composeront en un seul, le couple de percussion; les projections sur les axes de coordonnées de Taxe de ce couple seront respectivement L, M, N; le couple des percussions aura pour écjuation :
(1) L.r h Mjy h- N^ := 0.
Considérons le cas où le corps est eu i-epos avant les percussions ; on aum :
Le corps va donc commencer à toui*ner autour d'une certaine droite OH, et on aura :
cos (VLOx) __ cos (HOy) __ cos (HO.)
Considérons le diamètre conjupfué du plan (1) relativement à lellipsoïde central du point 0 :
(3) Ao?' 4- By* -hCz^ = ï.
Soient a, 3, y les cosinus des angles qu'il forme avec les axes; l'équation du plan (1) pourra aussi s'écrire :
(i) ctkx + pBy 4- yGj = 0;
en écrivant que (1) et (4) sont identiques, il vient :
en comparant ces écjuations aux équations (2), ou en conclut :
cos (HOj?) = a; cos (HOy) = P; cos (H0-) = y.
Donc : le corps commence à tourner autour du diamètre coiijiujué du plan du couple des percussions, relativement à rdlipsoïde central du point fixe.
Choc des corps sphériqoes.
63. Nous considérerons deux sphères homogènes animées de mouvements de translation rectilignes et uni-
formes, suivant la droite Ox qui joint leurs centres; soient V la vitesse de la sphère M, v' celle de M' avant le choc; supposons ces vitesses de même sens pour fixer les idées, et V > v'; il y aura évidemment un choc, et il est clair qu'après le choc, les mouvements des deux sphères seront encore des mouvements de translation rectilignes et uniformes, suivant la droite Ox; il s'agit seulement de déterminer les nouvelles vitesses.
Nous désignerons les masses des deux sphères par ^n et m'; pendant le choc, les parties de M' exercent des actions sur les parties de M, avec lesquelles elles sont en conCact; transportons toutes ces forces parallèlement à elles-mêmes au centre de gravité du corps M défoi*mé, centre de gravité qui ne coïncidera plus avec le centre de ligure; la résultante de toutes ces forces transportées sera
dh'igée suivant xO] désignons son intensité j)ar — R, et soit à l'instant considéré x l'abscisse du centre dé gravité de M; nous aurons, en vertu du principe du mouvement du centre de gravité :
Faisons de même pour le corps M' ; à cause de l'égalité de l'action et de la réaction, la résultante des forces transportées au centre de gravité de M' sera évidemment + R, et nous aurons :
On déduit des équations ci-dessus :
Wdx , dx' m -rr -^ w* TT = const.
dt dt
Les équations (3) et (4) ont lieu à un instant quelconque du choc; elles avaient lieu avant le choc, puisqu'il n'y avait pus de forces extérieures. La constante a pour expression mv + m'y'; on a donc, avant et pendant le choc :
(3) m -7- ^ wi' -T- =^ tnv -i- m ïï .
dt dt .
Ainsi, la somme des quantités de mouvement n'est pas altérée par le choc; pour aller plus loin, il nous faut maintenant considérer deux cas :
4^ Les corps sont entièrement dépourvus d'élasticité. Tant que la vitesse de M sera supérieure à celle de M', les deux corps se comprimeront; ils cesseront de se comprimer, lorsque les deux vitesses seront égales; alors, les corps resteront dans l'état où ils se trouvent à ce moment; n'étant pas du tout élastiques, ils ne tendront pas à reprendre leurs formes primitives; à partir de ce moment, la (juantité R sera nulle constamment, on aura donc :
d'où , en désignant par u la vitesse commune :
dx dx'
et (5) donnera, avec ces valeurs de -j-r et -tt :
mv 4- m' v' ^ ^ m -{- m
Si tf > 0, y' > 0, on aura u > 0.
Si v et f ' sont de signes contraires, il en sera de même des quantités de mouvement mv et m'v'\ ii aura le signe de la plus grande quantité de mouvement; si on a :
fn!v* = — mvy
on aura u = 0, le choc réduira les deux coi*ps au repos, 2® Les corps sont parfaitement élastiques. On déduit des équations (1) et (2) :
^ dxiPx 2w' dx' d'x' a„ ,, , , ,
ou bieit :
d j „, ^' + m' ^ ( = 2K (dx' — dx) = 2H dr.
('"dF-*"'" IF)
en posant :
Donc on a :
dx
m -r dt
L'intégrale commence avec le choc; à ce moment on a :
C = mv^ -h w'r'*, • donc :
(7) w -j-^ -H m -T-5- = wr' 4- m r * -h 21 R rfr,
r est la distance des centres de gravité des deux corps.
Pendant la première partie du choc, les corps se compriment, r diminue, 2/ Rdr est négatif, on a :
dx' ,dx'' dr dt'
Cela continue jusqu'au moment où les vitesses 'sont
égales, les corps cessant alors de se comprimer; mais comme nous les supposons élastiques, ils vont tendre à reprendre leurs formes primitives; M va pousser M' dans le sens O.r, M' j)oussera M dans le sens xO\ r va au{(menler; si pour des valeurs de r équidislantes du minimum R reprend les mêmes valeurs, si les deux phases du choc sont identiques, on dit que les corps sont parfaitement
élastiques; Tinléprale SlRdr, prise depuis le commencement du choc, jusqu'au moment où les corps vont se séj)arer, sera nulle; soient donc V et V les vitesses des deux sj)hùres après le choc, on aura :
(8) m V* -h m' V» = mv' -h m' v'\ On sait du reste qu'on doit avoir :
(9) m\ -f- m'V = mv 4- m'v'.
Les équations (8) et (9) détermineront V et V ; on peut les écrire :
On en tire donc :
(10) . r-HV = V4-t'.
La vitesse relative était avant le choc v — /''; elle est après le choc V — V ; 1 ecjuation (10) montre que ces vitesses relatives sont égales et de signes contraires; ainsi, la vitesse relative avec la<iuelle le centre de gravité de M s'éloigne de celui de M' apivs le choc, est égale à celle avec laquelle il s'en rai)prochait avant le choc. Les équations (9) et (10) donnent du l'este :
(il) V = '- ; = t^' -♦ , {v — r'),
^ ^ m -h m' VI -h m
Cas particuliers. — 1^ mt; + m'v' == 0.
En remplaçant dans (14) m'v' par — mv, on trouve :
on aurait de même :
^ Ainsi : la vitesse de M prend, après le choc, une tfaleur égale et de signe contraire à celle d'avant le choc ; de 7nême pour M'.
(11) et (12) donnent :
Ainsi : quand les deux sphères ont des masses égales, si lune d'elles est en repos. Vautre lui transmettra sa vitesse après le choc et restera immobile. C'est Texpérience que Ton fait dans les cabinets de physique avec des billes d'ivoire suspendues.
Théorème de Carnet. — Dans le cas des corps mous, en se reportant à la formule (7), on voit que l'intégrale 21 Rdr,
ayant tous ses éléments négatifs, est négative; donc, après le choc, on doit avoir :
dx^ , dx'^ , , ,,
m -r-r- -h w -jTT < ^wt;' 4- m' t)'% dt* dv
ou bien :
{m -H m') M* < wt;' + w'r".
Il y a donc eu perle de force vive; c'est ce qu'il est facile de véiifier; on a en efl'et :
(wr-i- m'»')* m 4- m'
1 («^ - vy.
mv^ ■+■ m' v'^ — (m -h m') n* = mv- -+- m' v*- —
mm'
DYNAMIQUE. î299
Cette différence est bien positive. On peut lui donner une autre forme; on peut écrire en effet :
mv^ + m' v'^ — (w 4- m') w* = m (V — uy -h m' {u — V')'.
On peut donc dire que : La force vive perdue pendant le choc de corps entièrement mous est égale à la somme des forces vives dues aux vitesses perdues ou gagnées. C'est le théorème de Curnot.
