CHAPITRE VII

PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES

64. Nous nous ])roposons de chercher les conditions d'équihhre d'un système de points matériels unis entre eux d'une manière quelconque et sollicités par des forces données quelconques.

Définition de la vitesse virtuelle. — Supposons le système transporté d'une position à une position infiniment voisine, compatible avec les conditions de haison imposées au système; un point M du système viendra en «i, un point M' en m' ... ; on appelle vitesse virtuelle de Tun quelconque des points M, la droite Mm^ ou le déplacement infiniment petit du point considéré. Le mot virtuel veut dire que le déplacement est seulement possible, mais qu'il n'a pas réellement lieu, et l'on n'a pas à considérer les forces qui le produiraient.

Définition du moment virtuel. — Soient P, P' ... des forces appliquées aux points M, M' ...; projetons la vitesse virtuelle M?» sur la force P; le produit P X ^nn est le moment virtuel de la force P. On voit qu'il est égal au produit de la force par la projection du déplacement sur la direction de la force.

On donne à ce moment le signe + quand la projection

est dirigée dans le sens de la force, le signe — quand elle est dirigée suivant son prolongement.

P Le moment virtuel est nul

quand la force est por[)entliculaire au déplacement.

P' On voit (|ue le moment virtuel de la force P est égal au Fiq. 250 w^ ''-nu travail élémentaire de la force

P, quand le déplacement virtuel Mm coïncide avec le déi)lacement réel.

Le moment virtuel est susceptible d'une autre expression; soit mMP = (j/, Mm = $s, on a :

Mn = 05 cos •^,

et le moment virtuel est égal dans tous les cas à :

P s5 cos 6 = c.^ X P cos 4»,

c'est à dire au produit de la vitesse virtuelle par la composante de la force suivant la direction de cette vil esse.

Soient X, Y, Z les composantes de la force P suivant trois axes rectangulaires, Ix^ ly^ Iz les projections de la vitesse virtuelle sur ces trois axes; les cosinus des angles

de MP avec les axes sont :

les cosinus des angles de M m avec ces mêmes axes sont :

On en ronclul :

. X Ix Y ly Z Iz

P $s P a« P IZ

Ps« COS + := \>x -f- \ly 4- Hz.

Donc, le moment virtuel rie la force P a ces trois expressions :

P (os CCS ^), ^s (P CCS i), \ix + Yîy 4- Ziz.

65. Moment virtuel de la résultante de plusieurs forces appliquées à un même point matériel. — Soient les deux forces P et Q appliquées au point M, Il leur résultante; on a :

Moment virtuel de P = Mm X Proj. P sur Mm,

— Q = Mm X Proj. Q sur Mm,

— R = Mm X Proj. U sur Mm;

or :

proj. de R = proj. de P -h proj. de Q,

donc :

mom. virtuel de R = moni. virtuel de P + mom. virtuel de Q.

Le tliéorùme s'étend de lui-même à un nombre quelconque de forces.

Donc, le moment virtuel de la résultante d'un nombre quelconque de forces appliquées à un même point matériel est égal à la somme algébrique des moments virtuels des composantes.

66. Théorème. — Si Von applique 3* aux extrémités (Vunc droite rigide et

infleocible AB deux forces égales et contraires dirigées suivant cette droite, leurs moments virtuels seront égaux et de signes contraires.

Soient en effet les deux forces AP et BQ, AP = BQ, A a et B 6 les vitesses virtuelles des points A et B; ou a ab = AB;

moment virtuel deAP = — P X A a', — doBQ =-H P X B//;

Fiq.251

or la droite ab faisant avec AB un angle inllninient petit du premier ordre, on a a'6' = ab, en négligeant les infiniment petits (lu second oi'dre; ou bien :

a'b' = AB,

fig 252

Aa'. = B6'.

Donc, etc.

67. Équations exprimant les liaisons. — Considérons un système de points matériels M(.r, j/, z), W{x\ y', z') ..., un certain nombre de i)oints pourront être assujettis à rester sur des courbes ou des surfaces données; les distances de certains points du système pourront être invariables, ou avoir entre elles des relations données.

D'une manière générale, on aura un certain nombre d'équations entre les coordonnées des points :

i f{x,y,z, x\y\z' ...) = 0, (*) i ?(^,y,^, aî',y',-' ... ) = 0,

Soit pie nombre des points (jui forment le système; les équations (1) seront au plus au nombre de 3p — 1 ; lorsqu'il en est ainsi, le système est dit à liaisona complètes; s'il y a moins de 3j; — 1 équations, le système est dit d liaiso7ti< incompUtes.

Dans un système à liaisons complètes, toutes les coordonnées peuvent être considérées comme des fonctions déterminées d'une seule variable indépendante.

;r = Fi(w), a?' =/j(m)..., ,V = F. (Il), y' =x, (m) ...,

z V,iH), z' =x, (m)....

Chacun des points du système ne peut décrire qu'une courbe déterminée: quand le point M se déplace de M en m sur la courbe qu'il décrit, il entraîne les autres points M' en m' ... sur leurs courbes respectives.

Un corps solide assujetti à tourner autour d'un axe fixe constitue un système à liaisons complètes.

68. Démonstration du principe des vitesses virtuelles dans le cias d'un système à liaisons complètes. — Nous

adopterons la démonstration d'Am])ùre.

Considérons un pareil système; soient MP = P la résultante des forces applifjuées au point M, M'P' = P' celle des forces appliquées en M', etc. Le principe des vitesses virtuelles consiste dans le théorème suivant :

Théorème. — Pour que le système soit en équilibre, il faut et il suffit que la somme des moments virtuels des forces appliquées aux ilifférents points du système soit égale d zéro.

Soient :

p la projection de la vitesse virtuelle de M sur la direction de P, p' — M' — P',

Je dis que la condition nécessaire et suffisante pour l'équiUbre est (jue l'on ait :

P/? -f-Py -h ... =0.

Prenons d'abord deux points du système M et M'. Introduisons un nouveau point N ; assujettissons-le à se mouvoir sur une surftice donnée, et lions-le aux points M et M' pai* deux droites lif^âdes et inflexibles; pour une position donnée des points M et M', le point N ne pourra se déplacer que sur un cercle, et comme il doit rester sur une surface donnée, il en résulte qu'il ne pourra se mouvoir que sur

une certaine courbe B, lorsque le point M se déplacera sur la courbe A, M' sur A', etc.. Appliquons aux deux extrémités de la droite rij^nde et inflexible M'N les deux forces égales et opposées S et — S, agissant suivant cette droite; appliquons de même aux deux extrémités de la droite

rigide et inflexible MN les deux forces égales et opposées R et — R, agissant suivant cette droite; nous ne changerons rien aux conditions du système; c'est à dire que, si Téquilibre avait lieu tout d'abord, il aui'a encore lieu, et s'il n'existait pas, ce n'est pas l'introduction du point N et de nos quatre forces S, — S, R, — R qui aura pu l'établir.

La somme des moments virtuels des forces S et — S appliquées aux extrémités do la lige rigide et inflexible M'N est nulle; il en est de même de la somme des moments virtuels de R et — R; donc, la sonnne des moments virtuels de P et P' est égale à la sonnne des moments virtuels des six forces P, R, — R, — S, S, P'.

Actuellement, déterminons l'intensité de la force S de manière que la résultante de S et P' soit normale à la

Dkspryuoi sî. — Mécanique. II.

courbe M', puis rintensité de la force — R de manière que la résultaute des forces — S et — R soit normale à la courbe B ; la somme des moments virtuels de S et P' sera nulle, celle de — S et — R sera nulle aussi ; donc la somme des moments virtuels des six forces P, R, — R, S, — S, P' est égale à la somme des moments virtuels des forces P et R, et comme la somme des moments virtuels des six forces doit être égale à celle des forces P et P', on voit que la somme des moments virtuels de P et R est égale à celle dePetP'.

En résumé, sans rien changer aux conditions de l'équilibre, on a introduit un point N dans le système et on est arrivé à ce résultat qu'en appliquant une nouvelle force R au point M, le point M' et le point N (par suite de Tintroduction de forces convenablement choisies) sont soumis à des forces normales à leurs trajectoires respectives, et la somme des moments virtuels des deux forces P et R appliquées au point M est égale à la somme des moments virtuels des forces P et P'.

On considérera un troisième point du système M', un point auxiliaire N' qui jouera relativement à M et W le même rôle que N relativement à M et M', et on verra qu'on pourra faire en sorte que ces points M' et N' soient soumis à des forces normales à leurs trajectoires respectives, à la condition d'appliquer en M une nouvelle force dont le moment virtuel sera égal à celui de M'. Donc, en somme on axira le résultat suivant :

Au lieu de j) points dans le système à liaisons complètes, on en aura p + j) — 1 =2j) — 1; tous ces points sont sollicités par des forces normales à leurs trajectoires respectives, sauf le point M, qui, au lieu d'être soumis à la force unique P, est maintenant soumis à l'action de p — 1 forces nouvelles dont les moments virtuels sont égaux respectivement à ceux des forces primitives P', P' ... Tous les

DYNAMIQUE. îiO?

points (lu nouveau système sont en équilibre d'eux-mêmes, sauf le point M^ si ce point est en équilibre, tout le système y sera; si le point M n'est pas en équilibre, il se mettra en mouvement sur sa courbe et entraînera les autres. Donc, pour (jue tout le système primitif soit en équilibre, il faut et il suttit que le point M soit en équilibre, sous l'action (les j) forces qui lui sont actuellement appliquées; soit iî la résultante de ces p forces; il faut et il suflit, pour l'équilibre, que cette résultante soit normale à la courbe A, ou ([ue son moment virtuel soit nul. Or, le moment virtuel de il est égal à la somme des moments virtuels des ]> forces P, P', P' ... appliquées aux points M, M', M' ... Donc, la condition nécessaire et suflisante pour l'équilibre du système est cjue Ton ait l'équation :

P/> + Fp' 4-Py ... =0.

11 faut remarquer (pie dans cette é(piation les ra[>-

ports— > » .... sont déterminés.

69. Démonstration du principe dans le cas des liaisons incomplètes. — 11 y a moins de 3p — 1 équations de condition. Le système n'est pas à liaisons complètes; on peut lui faire prendre non pas un seul mouvement, mais une inlinité. Considérons l'un quelcompie de ces mouvemenls, qui deviendrait le seul possible, si aux équations de condition données, on en ajoutait de nouvelles, de manière à rendre le système à liaisons complètes. Il est nécessaire que, relativement au mouvement considéré, la somme des moments virtuels soit égale à zéro.

Car, supposons que l'équilibre existe tout d'abord ; on ne le troublera pas en gênant les mouvements des difiérents points du système, de manière à réduire ces mouvements à un seul, celui dont nous avons parlé; le système devra être en équilibre à plus forte raison. Mais, si la somme des

308 COURS DE MKCAMQUK.

moments virtuels n'élait i)as nulle, le système prendrait le mouvement considéi'é. Donc, pour qu'aucun des mouvements compatibles avec les liaisons du système n'ait lieu, il faut que, pour cliacun de ces mouvements, la somme des moments virtuels soit égale à zéro.

RÉcn^ROQUEMENT. — Si Cette condition est remplie, Téquilibre a lieu. Car, si un mouvement s'accomplissait, ce mouvement serait déterminé. Introduisons d'autres liaisons ne gênant pas ce mouvement, mais gênant les autres, si Ton tentait de les accomplir, nous aurons îUors un système à liaisons complètes; puisque le mouvement a lieu, c'est «pie la sonnne des moments virtuels n'est pas nulle, ce qui est contraire à l'hypothèse. I.a condition énoncée est donc nécessaire et sufTisante.

Ainsi, pour tous les mouvements possibles, on doit avoir l'équation :

Autre forme de l'équation des vitesses virtuelles. — A lu force P, substituons ses composantes X, Y, Z; de même considérons le dé])lacement du point M comme résultant des trois déplacements o.f, $//, oz; nous aurons :

mom. virtuel de P = Xo.r -+- Ycy + Zoz,

et réquation des vitesses virtuelles deviendra :

70. Conditions d'équilibre d'un système. — Nous allons montrer comment on déduit du pi'incipe des vitesses virtuelles les conditious d'équilibre d'un système donné.

Supposons que les liaisons qui existent entre les divers points du système soient exprimées par les équations :

DYNAMIQUE. ÎÎOO

outre les coordonnées des divers points du système a?, j/, z, ^'y y\ ^'••- Soient Sa;, oj/, $r, ox', ... des variations infiniment petites compatibles avec les liaisons; nous devrons avoir entre ces variations les relations suivantes :

(IL ^ flL , (IL ^ (IL ^ , ^.

^/j7 df/ '' (iz dx

\ dM^ (/M, f/M, f/M , ,

Soit i le nombre des équations de condition; i des varialions oXy c?/, ... au nombre de 3;), seront des fonctions linéaires des ^p — i variations restantes, lesquelles seront arbitraires. En reportant ces i variations dans (1), on aura une fonction linéaire des \\p — i variations arbitraires; et cette fonction devra être nulle quelles ([ue soient les 3^> — i variations. Le coefficient de chacune de ces variations devra donc être nul ; on aura ainsi 3p — i équations qui, combinées avec les i équations de condition, donneront *3p équations propres à déterminer les 3^; coordonnées a?, j/, c, *'^'j y\ ^'j ••• <J<^^ ])oints du système, dans la position, ou dans les positions d'équilibre.

Il y a 3p — i éijuations (réquilibre.

Élimination par la méthode des facteurs. — Multiplions les équations (3) respectivement par les facteurs indéterminés A, ;j., 7 ... et ajoutons lensemble à Téquation (1); nous aui'ons :

/^ . (IL (IM d^s \ ,

i (X -h A ,- H ;A-p- h V --- 4- ... ) ^x \ \ dx dx d.r /

(*) i /,, . dL (IM (IN \ ^ } =^'

310 COUUS DE MÉCANIQUE.

Nous avons dit que i variations sont fonction des Sj) — i variations restantes, lesquelles sont indépendantes. Profitons de rindétermination de a, [x, v ... pour annuler dans (4) les coefficients des i variations dépendantes; les auti^es étant indépendantes, on devra égaler à zéro leui's coeflicients. On aura donc en somme les 3p équations :

dx ilx

diN

^ . dL dM dN

dy dy dy

„ . dL dM dN