Z 4- A — -I- IX-; — ^- V -.- -I
dz
dz
^, , dL dM dN ^-^^^d^-^^d^-*-^d^-^-
(2) et (5) forment un système de 3p + i équations contenant les 3p -h i inconnues a*, j/, z, x\y\ z' .., a, ;x, v.
Réciproquement. — Si ces équations ont lieu, l'équilibre aura lieu aussi; car en multipliant les équations (5) respectivement par îiT, ly ... et ajoutant, on a :
\lx + Y5y 4- Hz -f- X'êic' -h ...
dL, dL. dL. dL
ly
/rfM-
\ 4- X ( ^ Sa? -H "-- By -I- '^ $5 -h ^ Sa?' 1 \dx dv dz dx
et en vertu de (3) cette équation se réduit à
2(X5a?4- Y2y -+- Zîi) = 0.
De la signification mécanique des facteurs X, ;x, v. — Dans les é(|uations (5), chaque équation de condition L = 0
est représentée par un terme Xt^» a 7^...; si l'équation
de condition n'existait pas, mais ((u'à X on ajoutât une
force Xj-» à Y, X^..., les équations (5) resteraient les
mêmes. On peut donc dire que la liaison L -- 0 produit les forces suivantes :
A 3— suivant 0^,
\ . dL
en m K T- — Ov, I dy ^'
i A -r- — OJ,
\ dz
X T—; suivant Ojp, dx'
en wi ^ X T-7 — Oy, i dy'
' . dL .
La résultante de la force appliquée en m, et provenant de la liaison L = 0 sera :
le cosinus de Tangle que fait cette force avec Ox sera :
dL dx
. //diy /dlV (dL
dL\' (dLV
Si, dans Téquation L = 0, on considère a?, j/, z comme seules variables, on aura l'équation d'une surface; la force considérée précédemment sera dirigée suivant la normale à cette surface.
71. Application du principe des vitesses virtuelles à la recherche des conditions d'équilibre d'un corps solide entièrement libre. — Nous considérons le corps solide comme formé d'un nombre p de points matériels dont les distances mutuelles sont invariables; soient M, M', M' trois de ces points. Le nombre des coordonnées de tous les points du système est 3p. 11 y aura d'abord trois équations de condition pour exprimer que les cotés du triangle MM' M' sont invariables; pour chacun des p — 3 autres points tels que M"', il faudra trois conditions pour exprimer que les longueurs MM''', M/ M'", M' M'" sont invariables; on aura donc en tout :
équations de liaison, entre les 3p coordonnées; donc, il y aura six conditions d'équilibre.
On trouvera ces six conditions en imprimant au corps solide six mouvements virtuels simples, indépendants les uns des autres.
lo Translation parallèle à Oa;. — C'est un mouvement virtuel possible ; pour ce mouvement on a :
(i ce — d iV -—— ...
I^'équation
2 (XSa; + Y5y + 2
donne :
On trouvera
de
même :
!2o Rotation infiniment petite autour d'un des axes coordonnés. — Pour une rotation infiniment petite oO autour
<le Or, ou a :
jî = r cos 0, y = /' sin 0, :: = const., 5a? = — y$0, cy= -h œia, c;r=:0,
ol réquation (i) so réduit à :
ao::(.î;Y — yX)=:0.
(.)ii houvei'a donc les six conditions suivant(îs :
^ ifjZ — jY) = 0; 1 {z\ — .rZ) = 0; 2: {xY — y\) = 0.
(!t»s conditions sont distinctes; ce sont les six équations do réquilibre.
72. Sur une propriété de l'équilibre relative aux maxima et aux minima. — Reprenons ré([nation
qui donne les condilions d'équilibre d'un syslènie c|uelconque, en y adjoignant les écfuations entre les variations s.r, 0// ... fournies par les équations qui expriment les liaisons. Supposons qu'il existe une fonction des forces IJ, c'est à dire que, sans tenir compte des liaisons, on ait :
/ ^, f/U ,. dV ^ dV
^ . dx dy dz
dr
i )n en conclura :
d\: ^ rfU . dV
rf.F f/j/ </j
-h -7—. ^^^ -^ ••• = sU.
dx
On devra donc avoir l'équation :
en observant que les variations $0?, Sj/ ... doivent être considérées dans Téquation (3) comme liées entre elles par les équations de condition qu'on déduit des équations qui expriment les liaisons du système.
Il en résulte qu'en général, dans la position d'équilibre, la fonction des forces U sera un maximum ou un minimum, en tenant compte des liaisons du système. Ainsi, supposons que les liaisons permettent d'exprimer toutes les variables a?, y, J3 ... en fonction d'un certain nombre de variables indépendantes X, \h ...; on devra avoir, U pouvant être exprimée également à l'aide de ces variables, les équations :
Ce sont les équations mêmes que l'on rencontrerait, si l'on cherchait à trouver le maximum ou le minimum de la fonction U, des variables indépendantes \ ^ ...; on sait que quand on aura trouvé les valeurs de a, jjl ... qui vérifient les équations (4), il n'en résultera pas nécessairement que ces valeurs répondent à un maximum ou à un minimum deU.
On voit, (juoi qu'il en soit, que dans le cas considéré, où il existe une fonction des forces, on aura, pour trouver les conditions d'équilibre, à résoudre la même question analytique que s'il s'agissait de trouver le maximum ou le minimum d'une fonction U d'un certain nombre de variables indépendantes X, jjl ... C'est là un principe que Maupertuis avait proposé sous le nom de loi du repos.
Nous verrons plus loin que, quand la fonction U est un maximum, l'équilibre est stable.
Les équations (2) sont vérifiées loi'sque les forces qui
agissent sur les divers points du système ne sont autre chose que les actions de la pesanteur sur ces points ; on a dans ce cas, en prenant Taxe des z vertical et dirigé vers le bas :
X = 0, Y = 0, Z=:img \
et l'équation (1) devient :
miz 4- tw' Ss' H- ... 1= 0 {mz -i- m' z' ...) = 0.
Soit z; Fordonnée du centre do gravité du système;
on aura :
U = gz^ Ivi; IZj^ = 0.
Ainsi, quand on considère un certain nombre de points pesants liés entre eux d'une manière quelconque, on trouvei'a la position d'équilibre du système en cherchant, parmi toutes les positions compatibles avec les liaisons, celle pour laquelle le centre de gravité sera le plus bas possible. La l^osition dans laquelle le centre de gravité sera le plus bas possible sera une position d équilibre stable.
Exemples. — i^ Étant dominé un fil homogène pesant, dont les deux extrémités sont fixes, et dont la longnetir est donnée, trouver sa position d'équilibre. — On Tobtiendra en cherchant, à l'aide du calcul des variations, parmi toutes les courbes passant par les deux points fixes, et ayant une longueur donnée, celle dans laquelle le centre de gravité de la courbe est le plus bas possible; on trouve ainsi la chaînette.
2» Un ellipsoïde pesant homogène, étant placé sur un plan horizontal, son centre de gravité ou son centre de ligure sera le plus bas possible, lorsque Tellipsoïde touchera le plan fixe par Tune des extrémités du plus petit des trois axes; alors, l'équilibre sera stable.
S^ Considérons un corps solide attirant un point niatéiîel suivant la loi de Newton ; soient x^^ y^, z^ les coordonnées de ce point, V le potentiel du corps relatif à ce point, on aura :
Nous aurons donc pour l'équilibre :
dx^ thj^ (Iz^
Si nous considérons un point voisin du point attiré, en désiffnant ses coordonnées pai^ :
x = x^hh: y = i/^~{-k; z = z^ -\- l,
nous aurons :
iJ \ (tx;, dy:, dzl
dUo ^-0 " (^^0 (f^o
