PRINCIPE DE D'ALEMBERT

74. On a vu, dans le chapitre précédent, comment les équations d'équilibre d'un système quelconque de points soumis à des liaisons déterminées par des équations quelconques peuvent être déduites d'une formule générale. Le mouvement d'un système de points liés entre eux d'une manière quelconque peut de même être déterminé par un principe général, dû à d'Alembert.

Considérons un système de points matériels en mouvement M, M' ...; soient x, ?/, z, x' ^ if ^ z' ... les coordonnées de ces points; les liaisons s'exprimeront par des équations de condition entre ces coordonnées, (jui pourront également contenir le temps. Soient ces écjuations :

Dans le mouvement du système, le point M décrit une certaine courbe C, le point M' une courbe C ...

Soit P la résultante des forces qui agissent sur le point M, P' la résultante de celles qui agissent sur M' ...; le point M ne se meut pas sous l'action de la force P, comme s'il était libre, à cause de sa liaison avec les autres points du système ;

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soit P, lu force qu'il faudrait appliquer à chaque instant au point M supposé libre, pour produire le mouvement que ce point possède dans le système considéré; soit de même P.'

la force qu'il faudrait appliquer au point M' supposé libre, pour produire le mouvement de ce point...

La force P peut être considérée comme étant la résultante de la force P, et d'une autre force P, ...; nous pourrons donc considérer notre système de points matériels, comnje liés les uns aux autres d'une certaine manière, et soumis aux forces P, et P, pour M, J}[ et P^ pour M' ... et prenant le mouvement observé.

Imaginons un système identique de points matériels libres, non soumis aux liaisons, et où les points M, M' ... seraient sollicités par les forces P„ V[ ...; les deux systèmes auront le même mouvement; ainsi les forces P, sans les liaisons produisent le même mouvement que les forces P| et P, avec les liaisons. Donc les forces P, jointes aux liaisons ne modifient pas le mouvement; les liaisons ne servent qu'à détruire les forces P,. Ces forces P, ont été appelées par d'Alembert les forces perdues; on a donc le théorème suivant dû à d'Alembert :

Dans un système en mouvement, les forces perdues se font équilibre à chaque instajit, en tenant compte des liaisoyis du système.

Autre manière de présenter le principe. — La force P, peut être considérée comme étant la l'ésultantc de la force P et d'une force P, éj^ale et contraire à P,; donc, l'ensemble des forces P et P, se font équilibre, en tenant

compte des liaisons du système, c'est à dire sur le système gêné ; on peut donc énoncer ainsi le théorème :

Dans le mouvement d'un système quelconque de points soumis à des liaisons et sollicités par des forces quelconques, il y a équilibre à chnque instant, au moyen de ces liaisons, entre ces forces et des forces égales et directement apposées à celles qui produiraient pour chaque point matériel, supposé libre, le mouvement quHl a réellement.

Les efforts • exercés sur le système peuvent varier à chaque instant ; ils sont produits par les forces variables P, qui s'y font constamment équilibre.