É(iaation8 générales du mouvement d'un système
En vertu du principe de d'Alembert, toutes les questions de mouvement se trouvent ramenées à des questions d'équilibre; en combinant ce principe avec celui des vitesses virtuelles, on obtient une équation qu'on peut appeler l'équation générale de la Dynamique.
Désignons par X, Y, Z les composantes connues de la force totale appliquée au point M, dont la masse est m et les coordonnées x^ y, z; soient X', Y', Z', x\ j/', z' les mêmes éléments pour le point M' de masse m'... La
force MP, aura pour composantes m -j-^y ^ rf^' ^** rf#î» les composantes de P, seront :
-'»d?' -"^W -'^dF'
la force P a d'ailleurs pour composantes X, Y, Z ; donc les composantes des forces P„ P|, etc., seront :
(P.) X-m^, ^-'^'rf^' ^-^d7^'
/n»\ Vf ^ *^ iri ^ y rm, d s
Toutes les forces P„ P,' ... doivent se faire équilibre à chaque instant sur le système, en tenant compte des liaisons. Si donc, à un instant quelconque, 5j?, îy, 8z, 3.r', iy\ Qz' ... sont des variations infiniment petites quelconques des coordonnées compatibles avec les liaisons, à l'époque considérée, on devra avoir, pour tous ces déplacements virtuels, l'équation :
Telle est l'équation générale cherchée; on peut encore récrire : *
(2) 2(X3a: -^ Y$y + Z>.z) = 1 m (^ îx + ^^^ îy + 5^ 2-)'
le S du premier membre s'çtend à tous les points auxquels des forces sont appliquées; le yi du second à tous les points en mouvement sans exception; s'il s'agissait d'un corps solide, ce second 2 constituerait à proprement parler une intégrale triple étendue à tout le corps.
Voyons comment on déduira de l'équation générale (1), dans chaque cas particulier, les équations du mouvement. Supposons le système formé de n points, entre les 3n coordonnées desquels existent p relations pouvant contenir le temps t :
?i \^» j?i,yi,2^|, oo^^y^^z^... iï?M, y», v„) = 0,
/o\ j ?« (^» ^1» y^ ^ij ^1» y«» ^t ••• "^rtï yn» ^m) = 0,
Çp(/, ^11 Vif ^11 ^i>yii-«*»' ^«iy«î«j«) =^ ^»
le nombre p devra être au plus égal à 3n — 1.
Les conditions (3) devant être satisfaites par le système dans sa position actuelle, et dans celle qui répond à un
déplacement quelconque, à la même époque, il faudra différentier ces équations (3) par rapport à x^y y,, z, ... sans faire varier le temps; on aura ainsi entre les 3n variables 8a:„ 8j/,, 3r, ... 5a;„ ,$?/„, 5z„, lesp équations :
dXi * dy^ ''^ dz^ dZn
dXi * dyj ^* dz^ * d^r.
On pourra tirer de ces équations p variations en fonction des 3n — p autres qui seront entièrement arbitraires; on les portera dans Téquation (1), et on devra égaler à zéro les coefficients des 3n — p variations arbitraires; on trouvera ainsi 3>i — p équations qui, jointes aux p équations (3), donneront un système de 3n équations, pour déterminer les 3n coordonnées en fonction du temps; parmi ces 3><! équations, 3n — p seront des équations différentielles simultanées, du second ordre.
On peut opérer d'une manière i)lus symétrique. Soient A„ A, ... Xj,,p facteurs indéterminés; multiplions les équations (4) respectivement par X,, a, ... \ et ajoutons-les u récjuation (1); nous aurons :
Profitons de Tindétermination des p multiplicateui-s X, pour annuler les coefficients desp variations qui, d'après (4), sont des fonctions connues des 3n — p variations restantes, lesquelles sont arbitraires; il faudra alors, dans l'équation (5), annuler les coefficients de ces 3n — p variations; donc, en somme, on doit égaler à zéro, dans l'équation (5), les coefficients de toutes les variations, et on trouve ainsi les 3n équations :
W| -y— =Y; h À,' 7-^- + X, -~ 4- ... -h Xp ;j— ♦
Zn dZn
*"" df" " ^" ■*" ^* rfS "^ ^* rfZ "^ - "^ '^' rf^
On a alors p équations (3), 3n équations différentielles (6) entre 'fin + p inconnues, savoir, les 3n coordonnées et les p multiplicateurs X. Le gi'and avantage que Ton trouve n opérer ainsi, c'est de mettre en évidence les forces produites par les liaisons du système ; ainsi :
X 1^, X ^^ X ^^ * dx^ ' * dy^ ' * dZi
sont les composantes de la force produite par la liaison ç, = 0 sur le point M,; Tintensité de cette force est :
>■■ vm- (ih fê)'
la même liaison produit la force
WiÈMS'HW
appliquée au point M,; la direction de la première de ces forces est celle de la normale à la surface qui aurait pour équation :
?1 (^y'^l^Vu ^i> ••• '^tt l/n^ ^h) —— U,
en y regardant <, a?, ... z„ comme des constantes, x,, ?/„ z^ étant seides variables.
Détermination des constantes. — On a p équations ordînaires, 3n — p équations différentielles du second ordre; on introduira donc par l'intégration On — 2p constantes arbitraires; on aura 3n équations telles que la suivante :
(7) Xi = fi {t, C, ... Cen — lj))*
3n — p seulement de ces équations sont distinctes, puisqu'on a les équations (3), qui ne contiennent pas de constantes; on en déduira, en prenant seulement Sn — p équations :
dX'
(8) — = fi [tj Cl ... Cen — fp).
On aura ainsi 3n — p équations nouvelles; on fera dans les 3n — j; équations (7), f = 0, ainsi que dans les 3n — p
-jYJ seront des (piantités entièrement arbitraires. On aura donc 6n — 2p équations propres à déterminer les 6n — 2p constantes arbitraires C.
76. Exemple destiné à montrer l'interprétation mécanique des multiplicateurs indéterminés a. — Déterminer le mouvement de deux points matériels M et M' de masses m et m' soumis à Vaction de forces données, et réunis par une tige rigide et m flexible dont on néglige la masse, le point M étant assujetti à rester sur une surface fixe donnée S et le point W devant également rester sur une surface fixe donnée S' .
Désignons par :
X, //, z les coordonnées de M, x\y\z' - M',
(1) /"C^» y, ;?) = 0 l'équation de la surface S,
On aura en outre, en désignant la longueur de la tige par l :
(«' - xy + (y'- yy + {z' - zy = /*.
L'application du principe de d'Alemliert, avec les multiplicateurs de Lagrange, X pour l'équation (1), X' pour (2), \x pour (3), nous donnera les équations suivantes, dans lesquelles X, Y, Z, X', Y', Z' désignent les composantes des forces appliquées respectivement aux points M et M' :
(Px dt*
(PZ
dt*
dt*
dt*
Z 1- X^-|x(2' -s), uz
dz
On aura les 9 éciualions (1), (2), (3) et (4; pour déterminer en fonction du temps les 9 quantités x^ t/, z^
Traitons le problème autrement. En introduisant, pour
le point M, la réaction normale MN = N de la surface S, et la tension MT = T de la tige; pour le point M', la réaction M'N'=N' de la surface S', et la tension M'T' = T, nous pourrons considérer isolément les mouvements des points M et M', et
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332 COUJiS DE MÉCANIQUE.
nous aurons les équations suivantes :
d^x . dx ^x' — X
ut ////f\î ///A« ///A« l
