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On voit que les deux syslùrnes (rëciuations sont les mêmes et que Ton a :

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En général, en appliquant le principe de d'Alembert, avec les facteurs de La<j[i'ange, on trouvera le même résultat ({u'en introduisant d'avance les forces produites par les liaisons, et traitant les points du système isolément. Toutefois, avec le principe de d'Alembert, on n'a pas à démêler d'avance ces forces provenant des liaisons, le calcul les donne par les facteurs X.

77. Théorèmes généraux sur le mouvement des systèmes déduits de Téquation générale de la Dynamique. — Nous

avons réquatioii générale :

(1) 2 (Xc.r F YBy f- 7Az) =-. Im (^ ox h 'j^f oy + '^^ ^z^

qui a lieu poui' tous les déplacements virtuels compatibles avec les liaisons, telles qu'elles existent à l'époque t.

Supposons que les liaisons permettent une translation parallèle à Oa;; on aura pour ce déplacement virtuel :

3a?= Ba?' = 8a?' ... = 0, 3y = Sy' =:8y'... = 0, iz =îs' =Zz' ... =0.

En supprimant dans l'équation (1) le facteur 8 a;, on aura :

De même, si les liaisons permettent des translations parallèles à Oy et Oz, on en déduira :

(3) -«jhl'''

(4) -- fe = 2 2-

Nous retrouvons ainsi les équations (2), (3) et (4), qui conduisent au théorème sur le mouvement du centre de gravité; nous avions obtenu ces éc^uations d'une autre manière, et sans aucune restriction, tandis que nous trouvons actuellement que ces équations n'ont lieu que si les liaisons permettent à tout instant des translations virtuelles du système parallèles aux axes coordonnées. Ainsi, supposons qu'un point M du système soit assujetti à une liaison qui le force à rester sur une courbe fixe C; il est évident que le point M ne peut pas prendre les translations indiquées; donc, les équations (2), (3), (4) n'ont pas lieu. Quand on opère comme nous l'avions fait auparavant, on doit considérer comme forces extérieures toutes celles qui ne s'exercent pas entre deux points du système en mouvement en étant égales et opposées; ainsi, par suite de la condition imposée au point M du système, il faut appliquer au point M

une force extérieure N représentant la réaction de la courbe;

donc 2^ devra être remplacé par 2^ + N ces (N, x)\ on aura donc Téquation :

(5) lim ^ = 2 X -f. N ces (N, x).

La composante N cos (N, x) n'est détruite par aucune autre force appliquée à un point du système en mouvement. Ainsi, dans notre ancienne manière de procéder, on voit que réquation (2) n'a pas lieu, mais doit être remplacée par réquation (5). Dans cette manière, la réaction N est une force extérieure; elle doit intervenir dans les" expressions ]^X, ^Y, ^Z; dans la nouvelle manière, c'est une

force de liaison, et ces forces de liaison ne figurent pas dans réquation générale (1).

Il en serait de même, si le système avait un point fixe, ou si un point du système devait rester constamment sur une surface donnée.

Si certains points du système sont seulement reliés deux à deux par des tiges rigides, cela n'empêchera pas les translations parallèles aux axes; les équations (2), (3), (4) auront lieu dans la nouvelle manière; elles auront lieu aussi dans l'ancienne, car les tensions étant deux à deux égales et opposées s'éliminent.

Supposons maintenant que les liaisons permettent un déplacement virtuel consistant en une rotation infiniment petite' u) autour de Oz; on aura :

82 = 0, ca? = — y Bo), oy = 4- a? 80), 82'= 0, 00?' = — y'8o), 8y'= 4- a?'8ti),

8(1) sera en facteur dans l'équation (1); en le supprimant, on aura :

Nous retrouvons ainsi les équations des moments; ces équations n'auront lieu que sous cette condition que les rotations du système autour des axes soient possibles ; elles n'auraient pas lieu dans le cas considéré plus haut, où le point M devrait rester sur la courbe C; en appliquant l'ancienne démonstration qui n'était pas sujette à une semblable restriction, on aurait dû considérer la réaction N comme une force extérieure, et on aurait eu ainsi l'équation :

(d^v d^x\ ^^ a? T^ — y ^ j =2^ (a?Y — yX) + mom. de N relat. à 0^,

mais non pas l'équation (6).

Dans le cas d'un système entièrement libre, dont les points sont soumis seulement à des liaisons mutuelles quelconques, et à des forces extérieures quelconques, on aura les trois équations du mouvement du centre de gravité et les trois équations des moments.

78. Théorème des forces vives. — Reprenons l'équation générale de la Dynamique :

(1) 2(Xî^ 4- YSy 4- Ziz) = ISm^ll ix + ff, Sy + ^ Sz).

Nous avons des liaisons exprimées par des équations entre les coordonnées, ces équations pouvant aussi contenir le temps ; soit l'une d'elles :

(2) <Pi(^a?„yi, ^i ...^«, y ,^») = 0; les 3 vérifient les équations :

déduites des équations (2) sans faire varier le temps f, et

les d vérifient les équations :

de sorte que Ton n'aura pas :

Ix^ = dx^; By» = dy, ...

Parmi les déplacements virtuels compatibles avec les liaisons à Tépoque /, aucun ne pourra coïncider avec le déplacement réel qui a lieu entre Tépoque t et l'époque t + dt. Donnons-en un exemple : un point M est relié à un point fixe 0, par l'intermédiaire d'une tige qui se refroidit, dont la longueur varie par conséquent avec le temps; la liaison est exprimée par l'équation :

(X — a)» + (y — by -h{z — cy — /»(() = 0.

A l'époque f, tous les déplacements virtuels du point M ne peuvent s'effectuer que sur la sphère dont le centre est en 0, ayant pour rayon /"(<); le déplacement réel, au contraire, fait passer le point M de cette sphère à la sphère qui a pour rayon f{t + dt).

Ainsi donc, en général, on ne peut pas prendre les 3 égaux aux d; mais il n'en est pas de même si les liaisons sont indépendantes du temps; les fonctions 9,, ç, ... ne contiennent pas le temps explicitement; les équations de condition (3) et (4) sont les mêmes; on peut prendre les 5 égaux aux d ; parmi tous les déplacements virtuels compatibles avec les liaisons à l'époque f, il en est un qui est identique au déplacement réel, entre les époques t et t + dt] considérons ce déplacement virtuel, pour lequel nous aurons :

Zx = dx, oy = dy^ Iz = dz,