C X • — (IX

L'équation (1) donnera :

(5) 2 (Xrf r + Yrfy + Zrf:) = v,„ ^^ rfa, + 0 ^y + ^ dz) ;

or, on a :

dx* du* dz* dt* dp dt*

d'où, en prenant dt constant :

d.j:mv* = iZmi^j^dx + j^dy + j^dzy, en comparant à (5), il vient :

(6) d.lmv^ = 2^ (X^^^ -+- Yrfy 4- Zdz).

Donc, la différentielle de la somme des forces vives du système est égale au double de la somme des travaux élémeyitaires des forces extérieures ; on en conclut :

(7) Zmv^-^lmvl = i f V (xî^4- Y ^ + Z ^U^

J" '^^\dt dt dt)

Donc, dans tout système dont les liaisons sont indépendantes du temps, l'accroissement de la somme des forces vives de tous les points du système est égal au double de la somme des travaux de toutes les forces extérieures pendant le même temps.

C'est le principe des forces vives.

Nous avions déjà démontré ce théorème, et nous n'avions trouvé aucune restriction, tandis qu'ici il y en a une; mais, dans notre ancienne démonstration, il fallait faire figurer dans les seconds membres des équations (6) et (7) toutes les forces, forces extérieures, et forces provenant des liaisons, telles que tensions de fils, réactions de courbes, de surfaces, etc. Dans notre nouvelle démonstration, toutes ces forces de liaison se trouvent éliminées, et il arrive

Despeyrous. — Mécanique. U. ±2

qu'elles ne le sont que lorsque les équations entre les coordonnées des divers points, ou les équations des liaisons, ne contiennent pas le temps explicitement.

Pour mieux comprendre que, pour que le théorème des forces vives ait lieu, il est indispensable que les équations des liaisons ne contiennent pas le temps explicitement, prenons les équations suivantes auxquelles conduit remploi des facteurs de Lagrange :

Nous en conclurons :

22m (j^^^-^J^^y-^J^ ^^) = 22 (Xd^ -+- Yrfy + Zdz)

ou bien, en tenant compte des équations (4) :

(8) d.lmv* = 2 2 ^^'^^ "^ ^^^ "^ ^^"^ ~ ^^* dt ^*

On voit que si la liaison ç, est indépendante du temps, les travaux des forces provenant de cette liaison sont nuls.

Supposons qu'il existe une fonction des forces, c'est à dire que l'on ait :

^ dF ^ dF „ dF

dXi dyi dZi

où :

F = F (0?^, y,, z,, a?„ »., z., ... a?„ y,, zO» cette fonction F étant supposée indépendante du temps;

on aura :

2(X. dXi -h Y. rfy. 4- Z, d-2:,) = — d« ... =dF Il !C

(ce qui ne serait pas vrai si F contenait le temps explicitement); il en résultera :

:Lmv* = 2F (a?p y^, z^, a?., y„ ^„ ... «?«, y«, Zn) + const.

On a, dans ce cas, Tintégrale des forces vives.

De la stabilité de réqailibre.

79. Considérons un système de points matériels M, M', ... de masses m, m', ..., dont les coordonnées Xj y, z; x\ y\ z\ ... sont liées entre elles par un certain nombre d'équations ne contenant pas le temps explicitement, et supposons qu'il existe une fonction des forces à (.r, j/, z, ^' -> y 1 ^\ •••) également indépendante du temps, de manière que si on désigne par X, Y, Z les composantes de la force appliquée au point >[, X', Y', Z' les composantes de la force appliquée au point M' ..., on aura :

j ilx dy dz

dx'

Dans ces conditions, l'intégrale des forces vives a lieu, et l'on a pendant toute la durée du mouvement du système :

(2) Zmv^=i2^{x, y,z,x\y\z' ...) 4- C.

Il existe en général des positions en nombre fini des points matériels, telles que ces points sont en équilibre sous l'action des forces données, lorsque leurs vitesses initiales sont nulles, et en tenant compte des liaisons; on

Supposons maintenant que nous ayons disposé des vitesses initiales v, de manière à avoir : ^

(8) 2:mi;î-2*{ao, Po,ïo..-)<K,

ce qui imposera certaines limites à ces vitesses initiales; reportons-nous à Téquation (6); il sera impossible que l'une des quantités a, p, y, ..., devienne égale à Tune de ces limites, car on déduirait alors de (7) et (8) :

2^ (a, p, Y...) + -Lmvl — i^ (ao, Po, Yo-) < 0-»

et en se reportant à Féquation (6), on voit que Smt;. serait négatif, ce qui est absurde.

Donc, pendant toute la durée du mouvement, aucune des quantités a, p, y, ... ne pourra prendre une valeur égale à une de ses limites ; donc a en vertu de la continuité restera toujours compris entre — a, et + a„ p entre — Pi et + p„ ... Les limites entre lesquelles a, p, y? ••• doivent rester comprises, pourront être prises aussi petites qu'on le voudra.

La formule (6) montre que les vitesses v seront toujours comprises entre des limites déterminées, car on en déduit :

La stabilité est donc démontrée.

Application. — t/n point matériel pesant M est assujetti

à rester sur un cercle situé dans ti7i plan vertical; il est repoussé proportionnellement au carré de la distance par deux points A et A' situés sur le diamètre horizo7ital et à égale distance du centre. — Trouver la position d'équilibre.

Soient a le rayon du cercle, a la distance OA = OA', a? et y les

ay

coordonnées du pointJM; on aura :

MA' = r« = (a? — a)* -h y\

MA' =:r"=(a?-i-a)«-hy«.

Ici Ton a, en désignant par |x la masse du point M, par m et m' celles des points A et A', et par /" Tattraction de deux unités de masses à l'unité de distance :

r* = a' 4- a* — 2fl a cos 0, r"=: a* 4- a' 4- 2a a cos 0, • y = a sin 0,

en désignant Tangle MO a? par 6. U est une fonction de 6, et on trouve aisément :

— -rr = ûf COS 6 — /^a (m — m) sm 6,

— -^ = — flf sin 6 - /^a (w' — m) cos 6.

En égalant -r^ à zéro comme on doit le faire pour obtenir la position d'équilibre, on trouve :

(1) tg ô =

Si Op est le plus petit des angles correspondants à cette valeur de fgro, le problème aura deux solutions :

6 = 6o, et 6 = 6o -+- T..

On peut mettre Texpression de ^ sous la forme suivante :

(2) — — - = — ûf sm e 1 -I- ^— i •

Supposons maintenant que nous ayons disposé des vitesses initiales v, de manière à avoir : ^

(8) 2mt?î - 2* {ao,Po,ïo-..)<K,

ce qui imposera certaines limites à ces vitesses initiales; . reportons-nous à Téquation (6); il sera impossible que l'une des quantités a, p, y, ..., devienne égale à Tune de ces limites, car on déduirait alors de (7) et (8) :

et en se reportant à Téquation (6), on voit que Smi/j serait négatif, ce qui est absurde.

Donc, pendant toute la durée du mouvement, aucune des quantités a, p, y, ... ne pourra prendre une valeur égale à une de ses limites ; donc a en vertu de la continuité restera toujours compris entre — a» et + a,, p entre — p, et + p„ ... Les limites entre lesquelles a, p, y> ••• doivent rester comprises, pourront être prises aussi petites qu'on le voudra.

La formule (6) montre que les vitesses v seront toujours comprises entre des limites déterminées, car on en déduit :

Zmv* < Imvl — i^ (ao, Po, Yo-.)f

La stabilité est donc démontrée.

Application. — Un point matériel pesant M est assujetti

à rester sur un cercle situé dans un plan vertical; il est repoussé proportionnellement au carré de la distance par deux points A et A' situés sur le diamètre horizontal et à égale distance du centre. — Trouver la position d'équilibre.

Soient a le rayon du cercle, « la distance OA == OA', a? et y les

ay

coordonnées du point JVl; on aura :

MA = r* = (a? — a)* + y\

MT"'=:r'«=(a?4-a)'-f-y«.

Ici Ton a, en désignant par |x la masse du point M, par m et m' celles des points A et A', et par /" l'attraction de deux unités de masses à l'unité de distance :

r' = a* H- a* — 2fl a cos 6, r'*= a* 4- a' 4- 2a a cos 6, ■ y = a sin 0,

en désignant Tangle MOo? par 0.

U est une fonction de 6, et on trouve aisément :

— -TT = fl' cos 0 — /^a (m — m) sin 6,

[Ad uy

— ^ = — flf sm e - /^a (w' — m) cos 6.

En égalant -^ à zéro comme on doit le faire pour obtenir la position d'équilibre, on trouve :

(1) tg e = ^

fcL (m' — m)

Si Op est le plus petit des angles correspondants à cette valeur de fgfO, le problème aura deux solutions :

0 = 6o, et 6 = 6o 4- X.

rf*U On peut mettre l'expression de -r^ sous la forme suivante :

(2) = — jf sm 0 1-1- ' î— ^ ^ •

On voit que pour 0 = 0„ on a ^^ < 0, et l'équilibre est stable.

Applications da principe de d'Alembert.

80. lo Mouvement de deux corps pesants M et M' réunis par un cordon inextensible^ et assujettis à rester sur deux plans inclinés dont V intersection est horizontale.— ^^oïent v

la vitesse de M *omp- Fig. 261 tée positivement dans le sens OM, v* celle de M' comptée positivement dans le sens OM'; les choses se passent comme si le corps M était sollicité par une force mgf sin a agissant dans le prolongement de OM, le corps M' par une force m' g sin a' agissant dans le prolongement de OM'. Nous aurons donc, en écrivant que les forces perdues se font équilibre :

dv , . , , dv' ma sm a — m — = m' g sm o! — w' -r- •

dt dt

Or, on a évidemment :

donc :

d'où :

g (m sin a — w' sin a') = (m + m') t-»

dv m sin a — w' sin a'

■Ti=9

dt w -h m'

Le mouvement est uniformément accéléré.

2o Mouvement d'une chaîne homogène pesante, glissant sans frottement sur deux plans inclinés, et restant dans un

plan perpendiculaire à leur intersection supposée horizontale.

Soient l la longueur de la chaîne, p la masse de

Fig.262 l'unité de longueur. Posons :