X -h sb' = l
Chaque élément m de la partie OM est sollicité par la force mg sin a, chaque élément de la partie OM' par la force m' g sin a. On aura donc pour déterminer le mouvement de la chaîne Téquation :
Z Img sm OL — m — j = 1 I m' g sm a' — m' -j-^ \ •
Le premier S s'étend à tous les points de la partie OM, le second à tous les points de OM'. Or on a :
((Px\ I ô^x\
on aura donc :
(à^x\ g sin ^-—, y.
soit deux équations pour déterminer x et x' ; on trouve, en éliminant x ' :
(ly
X g , . • IN / I sm a' \
r- = r (=*in a 4- Sin a') ( J? — / -: : )
* / ^ \ sm a -h sin et'/
3i6 COURS DE MÉCANIQUE.
on aura ensuite :
En posant :
»* = ? (sin a -h sin a'),
et désignant par A et B deux constantes ai-bitrciires, on tire de (1) :
X = l . ^^" ^\ — ; -f. ke-' + B«— S sm a -I- sin a
et (2) donnera ensuite :
sin a -h sin a'
Pour que la chaîne reste en équilibre, il faut et il suffit que Ton ait :
On a alors :
OH = x,= . ''^^: ,; OM-=a;;= . ^^'°' ,.
sm a 4- sm a! sin a + sin a'
d'où :
Xq sin a == xl sin a' ;
il en résulte que, dans la position d'équilibre, la droite MM' est horizontale.
3o Une tige OMM', dont on néglige la masse, est mobile dans un pla7i xOy autour d'un de ses points 0 qui est fixe; M est un point matériel de masse m fixé à la tige, M' un petit anneau de masse m' qui peut glisser le long dé la tige. Le point M est soumis à l'action d'une force X, Y, le point M' d l'action d'une force X', Y'; on demande de trouver le mouvement de la tige et celui du point M'.
Désignons Tangle MOa; par 6. Soient :
â?, y les coordonnées de M; OM = a,
— M';OM'=r'.
.' mJ
Fig 263
oo\y On aura :
r a? = a cos 0, y =a sin e, ^ ^ \ x*=r' cos 0, y' = r' sin 6,
et pour déterminer le mouvement du système Téquation générale :
Les liaisons sont ici représentées par les équations :
On tire de (1 ) :
ou bien :
8a? = — a sin 0 86; Sy = + a cos 8 80; do?' = — 2' sin 8 d6 -h cos 8 82', dy' = -h z' cos 8 38 + sin 8 8z',
8a7 = — y88; 8y = -ha?88,
Sa?* = — y' 88 + -7 8r' ; 8y' = -h a?'
Ces relations permettent de transformer Téquation (A) dans la suivante :
34f8 COURS DE MÉCANIQUE.
Les variations 50 et Ir' étant arbitraires, on doit égaler à zéro leurs coefficients; on obtient ainsi deux équations qui peuvent s'écrire comme il suit :
= xY — yX + x'Y' — y'X' ,
(3) fn'[^^^y%) = x'x'-.yr.
On pourrait faire diverses applications de ces formules; nous allons considérer le cas le plus simple, celui où il n'y a pas de forces extérieures. On a alors, en désignant par C une constante :
cette dernière équation peut s'écrire :
^^> dtV dt ^^ dt)- dt*
En introduisant les coordonnées polaires dans les équations (4) et (5), il vient :
de
dt ma* ■+■ m'r'* d/, dr'\ dr'* + r" rfet dt V dt) ~ dt*
ou :
... d«r' , rfô»
(6) et (7) déterminent r' et 0 en fonction du temps. Nous désignerons par w la valeur initiale de -r ^ par a'
celle de r', enfin par wa'K celle de-^; nous pourrons
supposer que w est positif; K pourra être positif ou négatif; on tirera de (6) et (7) :
(8) C = (.)(ma»-+- w'a'*),
dô ma^ -h m'a'*
(9) ji = ^z:t.
' «.fl
(Foù :
dt ma* -h w'r
On en tire, en désignant par C une nouvelle arbitraire :
\d^/ ""^ ma«-f-m'r'« '
en appliquant à < = 0, on a :
m'o)* a'»K* = C - 0)' {ma* -f- m'a'«),
d'où, en éliminant C :
, /rfr'\V , , ,,--, ,, , f iixii ma* + m'a'*)) \rf// ( ma* -h m' r'*))
f^^'V t{vt ft ma* -h m'a'* . ,^ ,,. ) ^ \rf^/ f ma* -h m' r'*^ ^ )
/lAN ^. ^ y^mâTTlfirp* dr'
(9) donne ensuite :
, ^ (ma»4-w'a'*)ilr' (H)de=± ^ ^^ =:
yma*-hm'r'*\^r'*\ma*'\'{l-hK*)m'a'^\—a'*\H—K*)ma*'hm'a'*\
(10) fera connaître r' en fonction de t; (11) donnera r' en fonction de 6, ou Téquation de la trajectoire du point M'.
Discussion. — !<> K > 0; pour f = 0, r' commence à croître; dans les formules (10) et (11), on devra prendre d'abord le signe -}- ; pour r' = a', la quantité placée sous le radical commun aux deux formules est positive; celte quantité croît avec r'; donc, elle est toujom's positive; ainsi, ce radical ne s'annule jamais, et r' croît de a' à + oo ; t croît indéfiniment; 6 tend vers une limite finie, il y a une
asymptote (car on trouve que r" t-t a aussi une limite finie).
2o K < 0 — r' commence à décroître, à partir de r' = a'; supposons d'abord :
(1 — K*)wa* 4- m'a'* > 0, et faisons :
„__«'*(* — K')ma*4- w'a'V
ma' -h {l -hK»)w'a'* '
on aura r*" < a'", comme on le voit aisément, soit par le calcul, soit en remarquant que le radical doit être réel. On pourra écrire :
— l \/ma* 4- i»V« dr'
dr =
Vma} -f- (1 4- K') m! a'* Kr** — r"
Donc, r' décroîtra jusqu'à r\ pour croître ensuite de r' à + X ; il y aura encore une asymptote ; le mobile M ' n'atteindra pas le point 0.
Si l'on a (1 — K*) ma* + m'a'* < 0, r' décroîtra de a' à — 00 ; il y aura encore une asymptote.
Les formules (10) et (11) se simplifient un peu pour K = 0. On peut intégrer lorsque l'on a (1 — K") ma* H- m'a'* = 0; on en tire :
tnà^ -h m' a'* ma'
wfl* -H (1 4- K*) m' a'* = ::—i
ma'
DYNAMIQUE. àSl
ce qui permet de mettre les équations (10) et (il) sous la forme suivante :
, , « y^fn ,y — z P7I dr'
mar 4- m'a'* r'
(J6 = a Kw — •
r' |/wfl' -hw'r'* On achèvera aisément Tintégration. On peut écrire :
. a Vm
Ai. 1/- ^^' " ' r' |/m
de = a Km -
■v-^c-f^y vA^ëiy
et par conséquent :
, , a y m . /, ma^
0, - ô =: lOg \ -^-j^ + y 1 +;;^„
r Km
On déterminera ô, en écrivant que, pour 6 = 0, r' ^= a \ on tire de l'équation précédente :
— aVm m. /. ma} q q
r' Vm
On aura donc :
2a Km
= pô.-ô — e^-^^
équîition d'une spirale.
¥ Une tige OA dont on néglige là masse, est mobile dans un plan xOy, autour d'un de ses points 0, lequel est fixe; cette tige porte p petits anneaux M„ M,, ..., M. qui peuvent glisser le long de la tige; ces anneaux sont sollicités par des forces données , situées dans le plan xOy; 07i demande de déterminer le mouvement de chacun des anneaux, et le mouvemeiit de rotation de la tige.
Désignons par Xi et t/. les coordonnées du point M,, et posons :
m, est la masse de Tanneau M.; X,, Y. les composantes de la force directement appliquée à cet anneau.
En ayant recours à Téquation générale de la Dynamique, on aura pour déterminer le mouvement du système, réquation :
Or on a :
(2) Xi = r, cos ô; y. = r, sin ô,
e désignant Tangle de la direction OA avec Taxe des x. D'où :
8a?< = — y, se 4- - 3r.,
Syi = -I- 07.86 4- ~8n.
Lesp ^- 1 variations 36 et 8r„ ..., Sr^ étant arbitraires, on devra égaler à zéro leurs coefficients dans Téquation que Ton obtient en substituant dans (1) les expressions (3) ; on trouve ainsi :
/ d^Xi d'vA -- --
réqualiori (4) et les p équations que Ton déduit de (5), en attribuant à Tindice i les valeurs I, 2, ..., p, forment un ensemble de p + 1 équations difîérentielles, pour déterminer les p -f- 1 variables z^, z„ ..., Zp et 0, liées aux variables Xi et y, par les équations (2).
Cas où les forces extérieures sont nulles. — Les équations (4) et (5) donnent :
(6) donne, en intégrant et désignant par C la constante arbitraire :
ou l)ien, en introduisant les coordonnées polaires :
dt db C
dt Imifi^ (7) peut s'écrire :
d / d,ri dt/\ f/.r,' ■+- dy^
ou bien :
ou :
,it V' lit)
(P. r. . rfO-
*' df* -'' dt*
et, en remplaçant -r par sa valeur (8) :
dt* ~ (ïiw.r,')' *"'■
Despevroi's. — Mécanique. II. '£i
Le problème est donc ramené à rintégratioii du système suivant de j) + 1 équations dilTérentielles simultanées :
(iô C
dt* (2:w.n*)
dt' i^tnifiy ^'^ Posons, d'une manière générale :
(9) fi |/m. = M<,
et les équations ci-dessus deviendront :
rfe C
dt lUi*
dt' "" çùtii'y ***' (11)
dt' "^ {lUi'y ^^'
En multipliant les équations (11) respectivement par 2du,, 2dîi„ ..., 2dUpy et faisant la somme, on trouve :
d'où, eu intégrant et désignant par G" une constante arbitraire :
On a ensuite, en multipliant la première des équations (11) par — tt„ la seconde par u„ et ajoutant :
rf'u» , (Pu, -
on aura d'une manière générale, en désignant par i et j deux nombres entiers positifs différents, au plus égaux kp :
d'où, en multipliant par dt et intégrant :
duj dui ^ ^
Ui ~ — II. -- = constante.
dt dt
On en conclut, en désignant par ?i une constante arbitraire :
ce qui peut s'écrire encore :
ou bien :
.«■.ay-.(«.L^y=c.„..
Posons pour abréger :
les équations (12) et (13) donneront :
d'où, en éliminant S 1-^) '•
On en tire, en intégi'ant et désignant par -, une constante arbitraire :
C» {t + x) = I/Cp* — C» (1 + «•), (16) C'»p» = C (1 + «») + C" (« + -)'•
On tire de (15) :
/rfpy C (1 + n«:
d'où, en diflerentiant et supprimant le facteur 2 -^ :
^ ^ dt* p*
L'équation (10) donne, en ayant égard à (14) :
et la première des équations (11) devient :
On déduit de (17) et (19) la combinaison suivante :
P dt* "'d?- ^" p'' qui peut s'écrire :
ou encore :
rf ^
Cdt [C dt ] p'
cette équation devient, en tenant compte de (18) :
f/e f rfo 1 p'
OU bien, en prenant 8 pour variable indépendante :
de
On eu déduit, en désignant par a^ et b^ deux constantes arbitraires :
— = fli cos »ô 4- ft, sin wO.
On aura des formules analogues pour — » •••» —
Voici Tcnsemble de ces formules :
' ~l = a^ cos »0 + ft| sip nO,
— = a, cos «0 4- fr, sin wô,
— =zap cos nô -4- tp sin mO,
Çii) p' = mJ 4- u\ 4- ... 4- fl^.
On déduit des équations (20), en tenant compte de (21) :
1 = (a* 4- ... 4- al) cos* wO 4- {b\ -h ... 4- b^) sin* »ô
