CQUATIONS DE LA6RAN6E. — ÉQUATIONS CANONIQUES
81. Considérons un système de points matériels, dont les coordonnées rectangulaires soient désignées par x,y, z] ^n î^n -n •••? X, Y, Z ; X,, Y,, Z,, ... désignant les composantes des forces appliquées à ces divers points; on aura par le principe de d'Alembert cette équation générale :
OU bien :
(1) 2(X3a;4-YSy + Z82) = ::m(^Sa;4-g8y + 082].
et cette équation, combinée avec celles qui proviennent des liaisons du système, donnera tout ce qu'il faut pour déterminer le mouvement de ce système.
Supposons que, en tenant compte des liaisons, a?, ?/, z, ^n îfn ^15 ••• puissent s'exprimer à l'aide de k variables Çiy Çty "'7 Çk^^ du temps t:
(2) \y = 9 (îi'ît» •••» qt, t); y, = ç, (g., ?., ..., }*, 0 ... ( z = (î/(y„ j„ ..., qt, t); z, = '^^ (g„ g„ ..., qty t) ...
Lagrange a donné une formule remarquable qui permet de transformer d'une manière très simple l'équation (1), en y introduisant les variables q au lieu des variables x, y, z.
La transformation du premier membre de cette équation s'effectue immédiatement; on aura en effet :
(3) 2 (xs^ "*■ ^^y ■*- 2^-) = Q« s*i -*■ Q« '?« + - + Q* ^9t;
en remplaçant 5 a; par
âx dx dx
G//, oz, ... par des expressions analogues, en égalant dans les deux membres de Téquation (3) les coefficients de 2ç„ il viendra :
Q. = X^ + Y|.^+Z^-t-X.^+..., oQn àqa âq^ ' âqx
OU simplement :
(3-. «-sKf-v^-a-
On devra remplacer en même temps, dans le second membre de cette équation (3***), lès quantités X, Y, Z, ..., qui sont des fonctions de ty Xy y, z, ,..j par leurs valeurs en fonction de g,, g„ ..., q^ et t. Supposons de même qu'après avoir fait le changement de variables indiqué, le second membre de l'équation (1) devienne :
d?^^'^!^^^'^ dt^ ^7 "^ *^*^'* "^ "•^'' ••• "^ ^''^^^
toute la question est de déterminer les quantités w,, u,, ..., Uk' On aura, en procédant comme ci-dessus :
ce que Ton peut écrire :
— V d^{dx àx^ dy ày^ dz dz )
^, î rfa; d dx dy d ây dz d âz t ' dt dt âqa dt dt dq^ dt dt àq^ ^
Posons pour abréger :
^ \dt âq^ dt à Ça dt àqj
et nous aurons :
dça ( rfa? d (^a? dy d ày dz d àz)
or, on a :
d'où, successivement :
^^ dt'^ dt ôq, dt ôq, dt '" ôq, ~dt '
âx __ âf àqz" àq,i
d dx ^ â'f ^ O'f dq, ^ â'f dq, ^ ^ à'f dq,
dt àqx âqaàt dq^ àq^ dt àq^ ôq^dt ôqx dqkdt
àqx\dt ôq^ dt âq^ dt '" âqt dt S
la parenthèse est égale d'après (8) à -^; on aura donc :
dt d âx â dx
dt âq^ àqx dt
et l'équation (8) devient :
d.;a ^, idx d dx )
Ux = -rf — -w ; — -r— — + ... îdt f dt dqx dt )
Désignons par 2T la force vive du système, et posons :
dt^^ ' dt^y ' dt-" ' nous aurons :
dx
Cette quantité 2T, lorsqu'on y remplacera t- = x' par sa
valeur (8), y', z', ... par leurs valeurs analogues, deviendra
une certaine fonction dé i, q^y g,, ..., qt et de q\ = -v--» dq, dqt
Cherchons les dérivées partielles de cette fonction par rapport à Tune quelconque des variables q on q'; nous aurons d'abord :
^ __ V i<i^ à dx dy à dy ^^ J^ ^^ i ÔQx " \ dt dqx dt ITt ôqz dt dt dq^ dt )
En comparant avec (7) et (9), on en conclut : L'équation (8) peut s'écrire :
dt âqi ' ât àqi^
on en conclut :
âx' df dx
àq'a dqa àq^ (6) donne alors :
^^ ~ ""* \rf; dq'x ^ dt âq'x dt dq'J
ou bien :
^ ( , âx' , ây' , âz' )
( àqa àq, âq^)
ou bien, en vertu de (10) :
L'équation (11) donnera donc :
""^dt âq'o, àq^
En tenant compte de (3) et (4), l'équation (1) pouvait
s'écrire :
aimk
Qi 8îi -*- Qt ^9t -*- ••. -*- Qk 3î* = 2 "* ^î*' en remplaçant li, par sa valeur ci-dessus, il viendra donc :
a-il'
(12) QiSç, + Q.3î, ... 4-
Telle est la transformée de Téquation générale de la Dynamique.
Supposons que les liaisons entre les n points du système établissent entre les 3 h coordonnées x, j/, z, ..., 3n — A: é(|uations de condition; on pourra alors exprimer ces 3n coordonnées à l'aide du temps, et de k variables indépendantes les unes des autres, que nous supposerons être 9ij 9«> •••? Çk] alors, dans l'équation (12), les A: variations 8g,, $ç, ..., o(/a. sont arbitraires, et cette équation se décompose dans les k suivantes :
\ d dl àl
(13) \ dtJf,'' dli," ^
dt dq'k dqt ""
Ce sont là les équations de Lagrange.
Après avoir calculé -t-t' pour former ces équations, on
devra y remettre, au lieu des q\ les^; donc, les équations (13) seront A: équations différentielles simultanées du second ordre pour déterminer les k quantités q en fonction de f et de 2 A; constantes arbitraires,
dx Cette quantité 2T, lorsqu'on y remplacera -j- = x' par sa
valeur (8), j/', z', ... par leurs valeurs analogues, deviendra
une certaine fonction dé i, g,, ç,, ..., Çt et de q^ = -A^ dq^ , dqt
Cherchons les dérivées partielles de cette fonctioii par rapport à Tune quelconque des variables q ou q'; nous aurons d'abord :
dT ^ idx d dx dtj à dy ^^ ^ ^^ )
âqx ' {dtâqx dt ~dt ôqx dt dt dq» dt ^
En comparant avec (7) et (9), on en conclut :
L'équation (8) peut s'écrire :
^ ^ dt dqi ' dt dqi
on en conclut :
dx* àf dx
dqx àqa dq^ (6) donne alors :
c — v„, /^ ^ . ^i( ^ . ^ ^\ "^ "" -''* \dt dq'x dt dq'x dt dq'x/
ou bien :
^ ( , àx' , dy' , dz' )
ou bien, en vertu de (10) :
L'équation (11) donnera donc :
En tenant compte de (3) et (4), Téquation (i) pouvait
s*écrire :
ammk
en remplaçant li, par sa valeur ci-dessus, il viendra donc
a>mk
Telle est la transformée de l'équation générale de la Dynamique.
Supposons que les liaisons entre les n points du système établissent entre les 3n coordonnées x, y, z, ..., 3n — k équations de condition; on pourra alors exprimer ces 3n coordonnées à l'aide du temps, et de k variables indépendantes les unes des autres, que nous supposerons être Çty 9tj •••? ?*; alors, dans l'équation (12), les k variations iq^y $g, ..., S^fc sont arbitraires, et cette équation se décompose dans les k suivantes :
l dt ôq\ dq, " "»' \ d 01 àl (13) ; Ttd^^^d^,^^''
dtdq'k dqk^^''
Ce sont là les équations de Lagrange.
Après avoir calculé t— r» pour former ces équations, on
devra y remettre, au lieu des q\ les—; donc, les équations (13) seront k équations différentielles simultanées du second ordre pour déterminer les k quantités q en fonction de t et de 2k constantes arbitraires,
;î64 cours de mécanique. .
En nous plaçant dans les mêmes conditions, supposons qu'il existe une fonction des forces U, contenant le temps t, et les coordonnées a?, y, z, a\^ t/„ c„ ..., de sorte que :
dV
dH
rv
dV
dx'
ày'
-dz'
dV
ÔX^
alors, la formule (3*") donnera :
*" \dx dtja ày dq^
dz Oqx)
àqx
et les équations (13) pourront s'écrire :
d dl dl dU
d <?T <^T dM
dt dq\ âq^ âq^
d ÔT
dt âq't
El dqu
àqk
Ainsi, dans ce cas qui est le plus fréquent, voici la marche à suivre : la première chose à faire est de déterminer, dans chaque cas particulier, les k variables indépendantes g,, g,, ..., à Taide desquelles on peut exprimer toutes les coordonnées x^ ?/, z, ir„ j/j, z,, ..., au moyen des équations qui expriment les liaisons; on obtiendra ainsi les équations (2). Il y a ensuite à considérer les deux fonctions T et U :
à Taide de l'équation (8*") et des équations analogues déduites de (2), on exprimera T en fonction de f, g,, g„ ..., Qk\ q'n q\j ..., 3*; ou peut remarquer en passant que
les variables q' n'entreront dans T qu'au second degré; U deviendra de même une fonction connue de f, g„ g„ ..., g*; on pourra former alors les équations (14), d'où dépendront les valeurs des variables g„ g„ ..., Qk en fonction du temps; c'est un système de A: équations différentielles simultanées du second ordre.
On peut se proposer de retrouver l'intégrale des forces vives, quand elle existe.
On déduit de (14) la combinaison suivante : en multipliant la première équation par q[(H = dq^\ la seconde par q\df = dq^y ...
ce que l'on peut écrire :
^*«) "lu ''■ "" ^ 'V "^ W. ''• ■" ^ "'• ••)
dV , dV. , \ àq, dq.
Supposons actuellement les liaisons primitives indépendantes du temps ; alors, dans l'expression (8) de x' :
, àf „ df ,
le terme en ^ disparaît ; les variables x', y', r', ..., sont des fonctions homogènes et du premier degré de g,', q'^, ...^qi:
est une fonction homogène et du second degré des mêmes quantités, ne contenant pas le temps explicitement; donc.
on a, par une propriété connue des fonctions homogiÈnfls :
la première partie du premier membre de l'équation (15) devient donc égale à '2dT; la partie suivante
/dT ^ àT ^ \
rdq'A + ...
est égale à dT, puisque T ne contient pas le temps explicitement; réquation (15) donne donc :
Si la fonction U ne contient pas le temps explicitement, on a :
dqi il en résulte :
rfT=:dU,
T = U + const.
Remarque. — Supposons que les variables ç„ ç„ ..., qj^ n'aient pas été réduites au plus petit nombre possible ; alors on aura entre ces variables h équations de condition :
A (*i> ?t, ••• î*i 0 = 0, /jgx • ; A(^i>l/«» •••?*, 0=0,
\ fhiQi. î« ... g*, t) = 0,
h étant plus petit que /r. D'où Ton déduira :
^3//, + ... +^lq, = Q^ àqy dqk
(17) ( ôqi^^' ' '—- ôq,^^'-^'
\ àq, dqt
Alors, en désîgna&ipor \, \, ..., X* des facteurs indéterminés, on déduira de (12) et (17), en opérant comme on Ta fait à l'occasion du principe de d'Alembert, les équations suivantes :
d d'ï dl df àU . , dU
(18) ' d« ^ ~ ïï?. - '^^ "^ ''• ^. "*" ^* J7. ••• ^ '^ ^.'
Les équations (16) et (48) forment un système de k + h équations entre les A; + fe inconnues q„ q„ ..., g», X„ X„ ..., /si, et le temps t; le problème est déterminé.
Application des éqnatiotii do Lagrange.
82. 1^ Équation du mouvement d'un point matériel dans un plan en coordonnées polaires. — Soient r et 0 les coordonnées polaires correspondantes aux coordonnées rectangulaires X ety. L'équation :
se transforme comme il suit, en posant :
(1) X 007 -4- Y Sy = A Sr -f- B 36,
^, ^ { d dT rfT , ) , i d rfT dT „) ^
On a :
a; = r cos 0, y = r sln 6,
2T = mv' = m j ^' ^r'^] = m (r'« -f- r*6'*),
d'oii l'on lire :
