IT
dr
-— ■ = mr = m —' dr' dt
dr dt*
Il faut maintenant déterminer A et B; décomposons la force P appliquée au point M en deux autres, Tune ME == R
dirigée suivant le rayon vecteur, et regîirdée comme positive quand elle agit suivant le prolongement de ce rayon, l'autre MF = N, perpendiculaire au rayon vecteur, et i*eyardée comme posi- ^ tive, quand elle tend à
augmenter 0; X Sa: + Y Sy est le moment virtuel de la force I*; ce moment est égal à la somme des moments de U ot N; le moment de R est R X M H = R$r; celui do N est N X H M' = NrîO; on a donc :
Fla.2G4
il en résulte :
X^x + Yly = Klr -h Nr20,
A = R, B = Nr,
on trouve ainsi que Téquation (2) devient :
Si le point est entièrement libre, $r et 50 sont arbitraires;
ré([uation précédente donne :
w ~ • r' :y- = Nr.
Si le ])oint M est as^sujetti à rester sur une courbe donnée :
On déduira de (3) et (4) :
(fi)
(d'r rfO'\ „ , - rf/
d , dO ., . >lf dt dt J6
Les équations (5) et (0) déterminent r, 0 et X. Dans le cas où il existe une fonction des Ibrces :
V «/U ,, dU
d.r dy
..T ''U. rft\ dl\ dU,,
On aura, au lieu de (4) et (6), les équations suivantes :
*'* rf7 " '" dt "" ^/O
//r dr
rf/ d/ rfO (/O
Revenons aux formules (4); si la Ibrcc P est toujours
DFPPEYRors. — Mécanique. H. 2^
370 COURS DK MÉCANIQUK.
dirigée vers rorigine, on aura constamment N = 0, et la deuxième équation (4) donnera :
(It dt
d() r* -r- = consl.
df •
La loi des aires se présente ainsi d'elle-même.
2<> Équations du mouvement d'un point matériel dans Tespace, avec les coordonnées polaires r, e, «k — L'équation
/iv A'*^ ^ d^y ^ d^z ^ \ -. ^ -.^ -^
(1) m ^ — lx + j^^ly + — 52J = X Sa? -H Y3y 4- Zlz
aura pour transformée :
(2) 5'' 1 t: T-7 — ; A : -h cO > - • — 7 , - — B {
^ ( dtdr' dr ) f dt db' d8 )
en posant :
Xlx -h Yoy -h Zoz = Adr -h BcO + CB'i/.
En partant des formules :
u? = r sin 0 ces 6, y = r sin ô sin •];,
J =: r CCS 0,
on trouve aisément :
(3) 2T = w (r'» -H r^O'* -h r' sin* O/V*). On en conclut :
i rf/' dt' dr ( dt^ dt^ )
W < __ = wj /'* -r- ; "77- = mr* sm 0 cos 0 ( t; \ ?
' dà dt d'b
Décomposons la force P appliquée au point M en ti-ois autres, ME = R agissant suivant le rayon vecteur, et considérée comme positive quand elle est dirigée dans le prolongement de ce rayon, MG = M agissant suivant la tangente au méridien, et regardée comme positive quand elle tend à augmenter 0; MF =^ N agissant suivant la tangente au parallèle, et regardée comme positive, quand elle tend ^ à augmenter ^, Donnons au point M le déplacement infmiment petit MM'; ses ri(j.265 projections sur II, M et N, seront 8r, rSO, r sin 6o',^; Xco; 4- Yoy + Zlz sera égal à la somme des moments virtuels de R, M et N; on aura donc :
\o.v -h Yc// I- Zoz — Rcr H MrSO H Nrsin 0 $•>,
il en résulte :
A := R: H — Mr; C = Nr sin 0.
Si donc le point M est libre, Téquation (2) donnera, en tenant compte de (3) et (i) :
) r* -, r' sm 0 cos 0
(dt dt
dt') S
dt' S
m 3- r' sm' 0 ~ dt dt
= Mr,
= Nr sin 0.
Dans le cas où il existe une fonction des forces U, il faudra remplacer les seconds membres des éipiations précédentes par
(IV rfU^ rfll
dr' ^/o' dà
372 COURS DK MÉCANIQUE.
Si le point était assujetti à rester sur une surface <lonnée :
il faudrait ajouter aux seconds membres :
, df , df df
dr rfO dà
Si le point matériel devait rester sur la courbe définie par les deux é<juations :
il faudrait ajouter aux seconds membres les quantités :
. df dç . <//* ^9 . df ^9 dr ' dr rfO rfO «/«i/ rtf6
Application au pendule conique. — On a :
r = const. = J, or = 0;
réquation (2) montre qu'on n'aura plus que les deux dernières équations (4^'*); on a :
U = mgz =^ mgl cos 0, -77- = — mal sm 0: -—- z= 0.
Los deux équations indiquées donneront donc :
i ^— , — sin 0 cos 0 -TV = — ^ sin 0,
d'où :
(6) sin' 6 4^ = C.
^ lit
C'est l'équation (jue fournit le principe des aires, pour le plan horizontal.
DViVAMiouK. ;{73
Au Jieu (remployer la seconde des équations (5), il vaudra mieux avoir recours à ré(|ualion des forces vives :
t|ui esl ici :
(7) ml' j ^ll^l -H sin- ^%{- 2'W(// cos 0 = C.
On achèvera la solution en éliminant jj entre (6) et (7).
*^^ Houvement d'un point sur une surface fixe donnée.
— z pourra être considéré comme une fonction connue (le X et y; plus ^généralement les variables x, y, z pourront rtre considérées comme des fonctions connues de deux variables u et v\
On aura :
sdf(lu (Ifdcf- ""((/// dt ^ drdtS "^ •••'
vl pour la force vive une expression de la forme :
où A, 1>, (1 sont des fonctions connues de a et y; on en déduira :
^/T du dv du'-^^ dt '^^dJ'
d?-^dt~''^d't'
f/T I /duV dX ' du dr dB 1 /dry (IC (Tû. ^'2 ['(il) du "^ dt dt du "^ 2 \dt) du' r/ï 1 /(luy dk du //r dB 1 /diV dC dv ■" 2 [dt) dv "^ dt dt dv "^ 2 \dt) dv '
Si donc il existe une fonction des forces U, en la suppo-
sant exprimée au moyen des variables u et v, on aura pour déterminer le mouvement du point matériel les deux
équations suivantes :
/ \ dt dt) "i \dt) du
rfU du
rfli
Il conviendra de remplacer l'une de ces équations par celle des forces vives :
\dt/ dt dt \dtj
Si la surface donnée est Tellipsoïde :
const.
On pourra faire :
0?= asm u cosr, y = & sin M sin r, z = c cos u.
40 On donne deux droites fixes OA, OA,; trouver le mouvement de deux points matériels M et M, assujettis à
rester constamment, le point M sur la droite OA, Mj sur OA, ; ces deux points s'attirent l^roportionnellement à 2 G fi la distance.
Nous prendrons pour variables indépendantes :
-av
OM = r, OM, = r,.
Nous aurons, en désignant par m et ?h, les masses des deux
points M et M, :
U = — - /"mm, X MM, ,
et à cause du triangle MO M, :
(2) U = - ^^2— ^^' -»- ^" - -'•''i ^os 2a).
En tenant compte de (1) et (î2), les formules de Lagrange donnent :
— = — /^w», (r — r, cos2a),
— = — fm {r, — r cos 2 a),
ou, en posant :
(3) fni = h'; fm, = h\,
^^, -^ — Aî (r-/\C().s2a),
^' z=: - A' (r,-r cos 2 a).
On a ainsi deux é(|uations simultanées du second ordre, qui sont linéaires et à coeflioients constants; on pose, pour les intégrer :
r = A cos il; r, = X A cos v^,
où A, X et V désignent des constantes. On trouve, en substituant dans (4) :
h\ — V* = h\ A cos 2 a,
X (A' — v') = A» cos 2 a, d'où :
(6) (A« — V») {h\ — V») — A'AJ cos' 2a = 0.
37t) COUHS DE MÉCANIQUE.
On (lérnojilre tiisëment que cette équation (6), qui est du second degré en v', a ses deux racines réelles et positives, V* et v'\ Si on avait posé :
r = B sin v^ r, = X B sin v/,
on aurait trouvé les mrmes é(|uations (5) et (6). A chacune des racines de Téquation (G) répondra une valeur de )., déterminée i)ar (5), et une constante A, qui reste indéterminée. On aura donc, pour intégrales générales des équations (4) :
r r = A cos V ^ H- B sin v/ + A' cos v' t -*- B' sin v' t,
A' r, = -1 — - , cos 2a (A cos vf + B sin v/) a — 'r
A* -h , ,^ cos 2a (A' cos v' i H- B' sin v' /) ;
A, 1>, A', M' sont quatre constantes ai-bitraires. Si les vitesses initiales sont nulles, on aura (^1 =("J7) î
d'où, B = 0, ]>' = 0; si en outre m = m,, il en résultei-a h* = h\^ et récjuation (6) deviendra :
{h^ — V-)* = A^ cos 2 a ;
iroii
h' — V- = ± h- cos- a,
v= = 2A* sin' a; v'* = 2A» cos* a,
A* cos 2a __ A' cos 2a
( r — A cos (A K2 / sin a) ■■¥- A' cos (A K2^ cos a), f r' = A cos (A 1/2 / sin a) — A' cos (A \/h cos a),
av(M: :
»»fO) i mW
DYiVAMlQUE. 311
5» Un fil inextensible et sans masse est suspendu à un point fixe 0, et chargé de deux points matériels pesants M et M'; on suppose quUl lorigine du mouvement, ces points ont été écartés un peu de leurs positions d'équilibre^ lesquelles se trouvent sur la verticale du point 0, puis abandonnés à
eux-mêmes^ sans vitesse "^'*' initiale; on propose de déterminer les petites oscillations du système.
Soient 0 et 9 les angles (jiie font à répoque t les portions rectilignes du lil OM et MM' avec la verticale Oy; OM = a, MM' = b; x, y y a?', y' ^ les coordonnées de M
et M', V et v' les vitesses de ces points; on aura :
Ficj 2G7
\^ X = a sîn 0; x' = a sin 0 4- 6 sin 9,
( y = rt cos 6; ff = a cos 6 4- & cos 9,
P = mg; P' = vi' g.
La fonction des forces U a pour expression :
\] =mgy + m'gy\ ou, en remplaçant y et y' par leurs valeurs (i) : (2) U = </ j {m -h m') a cos 0 -f- m' 6 cos 9 j ;
on aura ensuite :
=za'
dV
dx'^ + dy'^ dt*
= ( a cos 0 — 4- t cos 0 -7^ I \ di ^ dt]
( a sm 6 — \ di
