m ab cos

— - = m' t's' 4- m' a& cos (9 — 0) e' = m' t* -^ d<f ' rf^

+ m rtfr cos (9 — 0) 3- »

Î^J = m' ab sin (9 - 0) o' b' = m' ab sin (9 — 0) ^ ^.

dT il./ ,N 1^1 II./ ,vv ^^ ^^

- = — tn'ab siiî (9 — 0) 9' 0' = — m' ab sin (9 — 0) — -r^ . do ' ' at ut

df^

- -- = — g {m -{- m ) a sin 6,

dU ,. .

-;— =: — gin b sin 9.

Les équations (5) vont donc devenir :

Jl'Ani-h m') a' j-^ -h vi' ab ces (ç - 0) -^ j

— m' a& sin (c — 0) — / -\- g {m -¥ m') « sin 0 = 0,

at dt

d i ...rfo ^0

-+- m'ab sin (? "~" ^) 77 77 "*" ?'^*' & sin 9 = 0,

ou bien, après quelques réductions faciles :

(m.-hm')«^ +wi'&cos(?-0) ^ -»i'<;sin(9-0) (^^ (6) { + g (m -I- m') sin 0 = 0;

A l'origine, 9 et 0 sont des quantités très petites, il en

do rfO sera de même pendant tout le mouvement; ^^et ^seront

des quantités petites chi même ordre; si Ton néglige le troisième ordre, les équations (6) deviendront simplement :

[ {yn ■¥ m!) a j^^ + m' b~ +g (m + »»') 0 = 0,

Nous sommes donc ramenés à intégrer un système de deux équations linéaires simultanées du second ordre, à coefficients constants, et sans seconds membres.

Pour intégrer, on pose, en désignant par A, X et r des constantes :

(8) 0 = A cos rt; 9 = aA sin rL

1580 COUUS DE MKCANIQUE.

En «ubslitiumt dans (7), il vient :

( {m -H m') (g — ar^) = m' b \r\ \ {g — br')'k = ar^;

A reste arbitraire; on tire de là :

{m -h m') (// — ar^) {g — br^) = m' abr^, ou bien :

(H) mrttr^ — i/ (rt + &) On -h m') /' -*- (m -i- w') //' = 0.

Cette équation est du second dej^fré en r*; le critérium est :

jf* {a -h by {m -f- m'y — kg'^ m (m -\- m') ab^ ou bien :

g- {m -t- m') \ m {a — &)- -t- m' {a -h by \ > 0.

Donc, les deux racines de Téquation (11) sont réelles, et

positives i)uis([ue leur somme et leur produit le sont;

de?signons-les par r* et r]\ on aura les solutions pui'tielles

suivantes des équations (7) :

Aar*

0 = A cos rt: o = j— ; cos rt,

' ' g -^ ftr*

0 = A sin /'/; o = 1— , sm /7,

g — br

A.ar' 0 = A, cos i\t: o = — -, - cos r,U

9 — br\

0 = a; sin i\t\ s = - — ,-~ sin r^/, * ' g — br]

A, A,, A', Aj désij^nant quatre constantes arbitraires; on aura ainsi pour solution générale :

; 0 = A cos rt "h A' sin r^ + A^ cos rj -h A[ sin r,f,

/jQx ; 9 = - , (A cos rt -h A' sin rt)

^ ^^ j g — br^ ^

ar^

H -— T— i (A, cos r,i ^- A' sin r. /),

</ — br]

el cette solution contenant quatre constantes arbitraires sera Tintégi^ale générale des équations (7), si Ton peut déterminer ces constantes de manière à satisfaire aux conditions initiales qui sont pour t = 0 :

(It ' fff On trouve ainsi :

' {/ — &r* g — br]

On tire des deux dernières :

' g ■— br] ' g — br^

ou bien :

A' a; rr, (r* — rî) = 0,

d'où A' =0, et ensuite A\ =0; et des deux premières, en posant :

flr'

Ài

ar\

— br''

-br]