AX
(in>
On aura donc, poui* la solution demandée :
( ô = A ces rt 4- A, cos r,r, ^ ^ 1 9 =: A A cos ri -h A, A, cos r, t.
t382 COURS DE MÉCANIQUE.
QÙ A, A„ X, \ ont les valeurs (15) et (14), r* et rf désignant les deux racines de Téquation (11).
Si Ton demande la condition pour que chacun des points m et m' oscille comme un pendule simple, on devra faire A = 0, ou A, = 0. Supposons A :r= 0; (15) et (14) donneront :
On en tire :
ax H- h fi
et en portant cette valeur dans (11), à la place de r\ il vient après simplification :
(i8) (m + m') ht} + {m + m') {b - a) a^ - w't?» = 0.
Cette équation est du second degré en -^\ elle a toujours
ses racines réelles, car le premier et le dernier coefficient sont de signes contraires; de plus, ces deux racines sont. Tune positive, Taulre négative; ces deux racines correspondent aux positions initiales. On a alors :
0 =z A, cos r,t\ 9 ~ A, A, cos r,^
ce ([ui doit cadrer avec
(19) Oi=acosr,/; 9 = ^ cos r^^
les durées des doux oscillations seront les mûmes; mais les amplitudes seront dilTérentes; les deux points passeront en même temps par la verticale.
Remarque. — Si, à l'origine, les trois points O, M, M'
étaient en ligne droite, on aurait a = g; Téquation (18)
donnerait :
mb = 0,
elle ne serait jamais vérifiée, à moins que Ton n'ait m = 0
DYNAMIOrE. ;W3
OU 5 = 0; dans Fun ou Taiitre cas, les points matériels se réduisent à un seul, et on a un pendule simple.
Dans le cas général, on obtiendra la valeur de r^ qui figure dans les formules (i9), en partant de (17), on déduit de cette formule :
Dans le cas où a = h, (18) donne :
3 r w H- fw"
nous aurons donc ces deux solutions :
e = ? l/--— , cos r,t \ «'•î =
ç = 3 cos r, / i y m + m'
0 = — ? 1/ r ces f\t \ ^^1 — / , —
ç =z= P cos r, / ( y m -f- w'
Théorème de Jacobi.
83. Considérons le mouvement d'un point matériel libre dans le cas où il existe une fonction des forces U indépendante du temps; les écpiations différentielles du mouvement seront :
d'x dV d'ff dV d'z dU
dt' dx' df dy' dt* dz'
U désifîne la fonction des forces divisée par la masse du nnobilo. CVst une fonction de x, //, c.
Soil (-) une fonction de x, y, z contenant trois constantes arlûlraires a, g, y, autres que celles qu'on peut toujours introduire dans C-) par voie d'addition, et vérifiant identiquement réquation aux dérivées pai'tielles :
Je (lis que les équations (1) auront pour intégrales générales :
,„, (IS , , de „ de
(=^> d;=^-^'' dg=^' d7=''
a', f;', 7' désij^niant trois nouvelles constantes ; les équations (3) donneront .r, y, z en fonction de i et des six arbitraires
nr A ^* y li *'
Démonstration. — Admettons en effet les équations (2) et (3); nous allons montrer que les équations (1) en découlent.
Différentions les écjuations (3) relativement au temps; nous aurons :
r/*e dx d'S dy d^e dz , d% dx dt dx dy dt rfa dz dt ' • ^/M-) dj^ d^e dy d'B dz ^ ^^ I //p dx dt "^ (/? dy dt "*" rf? </2 rf^ "" '
I rf'e rfa; (/»e ^/y d^S dz ^ rfv dx dt d^; dy dt d^ dz dt
0\\ si nous différentions Téquation (2) relativement à a, g, y, nous trouverons :
^/0 //^B dB d^B dO (PB i dxdx doL dy dy doL dz dz dx \ dB d*B dB d'B dB </'B ^'^^ j dx dxd4 "^ r/y dy d^ "*" d^: d;: d^ "" '
' rfB d*B dB d*B dB d*B __^
dx dx d-; dy dy d-; dz dz dv (i) constitue un système de trois équations du premier
DYNx\MIQUE. t385
dûc dvd" degré en jr> -^' tj; (5) est le même système où Ton aurait
, ,dxdy dz ^. ^ rfe rfe d6
remplace jj' 57' jy' respectivement par j^^ j;y ^-'^ on
a donc :
dx (ie rf y ^/B (iz ^ (/o ^^ Tt'~"dx' Tt^Jy' dt^'dV
Ces équations (G) sont donc une conséquence de (î2) et (3). Partons de ces dernières équations ; nous en tirerons :
rf^r rf^ rfjr J^e dy rf*e dz dr " dx* dt dxdydt dxdzdt
ou, à cause de (G) :
rf^__d*^de rf'B de d;e <iB
d/' do;' da? do? dy dy dx dz dz
Or, on tire de (2), qui a lieu quels que soient a;, //, r, a, g, 7 en difFérentiant par rapport à x :
du ded*e de d*e de d^e
da? dx dx* dy dy dx dz dz dx L'équation (7) donnera donc :
ot on verra qu'on a de mémo :
rf';r
dV,
dt* ~
' dx
r-me :
dt'
dll dy '
d}z dt*
rfU
dz
Ainsi, les valeurs de Xj y, ::, en fonction de f, déduites des équations (3), vérifient les équations (1); du reste, ces expressions de x^ î/, z contiennent six constantes arbitraires;
Despeyrous. — Jtf^'canigue. n. 25
IWj noms DE MKCAMOrE.
i](mc los (M|iialions (îi) on (-) osi drlini par (2), constiluent les iiitéf^rales }»onoralos des équations (1).
Les (Mjiiîitioiis (0) sont Irùs importantes, elles donnent (les exi)ressions trùs simples des composantes de la vitesse du point niatéri(d.
On voit que toute la diriiculté du problème est concentrée dans la rerherrhe d'une solution de l'équation (2), qiii est une équation aux dérivées partielles du premier ordre, cette solution devant contenir trois constantes arbitraires. On n'a pas de méthode générale pour l'obtenir; cependant on peut découvrir cette solution dans un assez grand nombre de cas.
Remarque. — Puisque la l'onction U ne contient pas le tenqjs, l'intégrale des forces vives a lieu, on a donc :
(Ix^ (ly^ dz* ce ([ui peut s'écrire, en vertu de (0) :
En comparant à (2), on voil (|ue la constante x n'est autre chose (pie la constante C (pii ligure dans l'équation des forces vives.
