Application au mouvement elliptique des planètes

— Soit r la distance d'un(^ |)lan(3te au centre du Soleil; la

fonction des forces est de la forme -'/ ;x désignant une

constante; on est donc conduit à trouver une solution de IWjuation :

,„ (fV-H (^V-H (1»)'= S ( t __■ H- C),

l'onloiiaiit trois consliiiilos arltiliiiircs C, G, H; alors le

mouvement sera délerminé par les trois intégrales : . (le , rfO (le ,

c, g, h désignant trois nouvelles constantes arbltraii'os.

Il convient d'introduire les coordonnées polaires dans l'équation (1); prenons le plan de Técliptique poui* plan des xijj désifçnons par •{; et o la longitude et la latitude de la planète; nous aurons :

' x=r cos o cos 'b, ; r = K;r* -h //* + j*,

/Q\ 1 y = r cosssin •>, f t|;=rarctg^.

' 2: = r sin 9, ^ ? = îïi*c tpf — - *— .. •

On en déduit :

xdx -+- ydti -f- zdz

dr => — -^ï ^—^ :

y^.rTrdz-'^'^^^^^-^^

do =

d'où

</r . ^/6 sin 6 ^^ sinocosô

-— = cos ç cos '^, y^ = ^» —-= ■ -^

dx i dx r cos 9 / «r r

^/r . . 1 ^/'^ cos ?!; f do sin ç sirn!/

rfy ' I dij r cos 9 i (/y r

dr , ' dà , ^ ^ do cos o

-— = sin 0, y —0, ~ = ^ ;

puis :

rf© . dir) sin 0/ ^/H sin ? cos 6 ^/O

-r- = cos o cos '!^ -. ^— ^ ^ — ,

rfa; «r r cos 0 d'b r (/^

</B . . ^^0 cos à d^ sin ? sin à dB

-- = cos c sin t!^ -7 — I -r- -r- 1

ai/ • • dr r cos 0 dà r d^

de . r/H cosorfe

dz dr r d^

388 COURS DK MÉCANIQUE.

Ou en liro i

V/j7 '*" V//// ■*" \flz) ~ \dr) "^ r* cos» 9 U'V "^ ^' U?/ ' IVqualion (1) devient donc :

Clierclious une solution de cette écjuation de la forme :

ces trois fonctions ne contenant, la première que r, la seconde que »>};, la troisième que 9; nous aurons à vérifier l'équation :

quels (jue soient r, 9, -y On peut écrire :

.J.iQ'-(S)'='-;-a'-K^'=)l-

Le premier membre de celte écpiation ne dépend que de 5 et Ç/, le second que de r; ces deux membres doivent être égaux quels c[ue soient r, 9 et «I^; on en conclut (|u'ils tlevront être constants; on aura donc, en désignant par G* une constante :

(fi)

cos'5 [dàj ■'' \rf?/ ~" ou bien :

( 0. ('SX !.

{sy=-'i--Q'

Le premier membre de cette équation ne dépend que de «i»,

le second que de 9; ces deux membres doivent iHre éfjfiiux quels que soient 9 et ^; on en conclut qu'ils doivent être égaux à une constante II*; on aura donc :

(7, II. = COS. , j (;. - (^^)' }

d*où :

J /équation (7) doune ensuite :

\(lo / COS* 9

d'où :

(9) .,.=J^,.-|rf,;

puis, on tire de (0) :

K =jy2c 4- ^- - •;%/

On conclut enfin des Ibi-nmles (5), (8), (9) et ( iO) :

(11) e =f\^'ic 4- ^ <| rfr + m -h/j/g' - ^^ <h.

Si Ton remettait dans cette formule, pour r, »!/ et o leurs valeurs en x, y, r, on aurait une fonction (-) de x, j/, s, vériliant identiquement Téqualion (l) et contenant trois constantes arbitraires G, G, II; c'est bien la solution cherchée; on dura donc les intégrales du mouvement par les formules ("2).

3!X) COUUS 1)K MtCAMyUK.

Signification géométrique des arbitraires C, G> H

ou l)ien :

nous (loune :

dt V r r-

Les valeurs maxima et minima de r, qui sont a (1 4- e) et a (1 — c\ en représentant le denû petit axe par a, et Texcentricité par c, doivent donc être les deux racines de rérpiation du second degré :

2C/'* + 2:/.r — ri* = 0.

On en conclul :

ri*

en désignant parp le paramètre de Torbite. L'intégrale

donne :

cos 9 |/G» CCS» ç — H*

J.e radical l^'ir cos- 9 — H' doit être réel; donc, la plus grande valeur de 9 sera donnée par la formule :

cos s ^= ,

DVNAMlQUi:. odi

or, lii i)lus grande valeur de ? est rinclinaison I de l'orbite de la planète sur le plan de récllptique; on a donc :

H ::= (i cos I.

Ainsi, on a :

(12) C = —^; G = |/;x l/p; H = k";/. \/p COS I.

Telle est la signification géométrique des arbiti'aires C, G, II. Avant d'aller plus loin, nous fixerons les limites inlérieures des deux intégrales qui figurent dans (M); nous ferons commencer la seconde à partir de 9 = 0, et la première, à partir de r =:= a (l — 6»), ce ([ui répond au périhélie; cette limite a (1 — é) étant fonction de C et G, on pourrait

ci*aindre de modifier ainsi les dérivées -y^ et -.r,; mais cela

(IL ail

n'arrivera pas, parce que l'élément dilYéi'cnliel de l'inté-

1/ 2C + -- — 5 dr, s'annule pour r = a (1 — ^0-

Nous aurons donc :

13) e= r 1/2C -^^-%dr-h H']. + r |/g= - ~ ih

et nos intégrales seront :

C' dt

flr

y cos* ? V r j