Relations entrô la résaltante et les composantes
Le triangle ADG comprend tous les éléments qui se rapport
tent aux intensités et^aux directions des deux composantes P et Q et de leur résultante R ; les intensités de ces forces sont représentées en effet par les côtés de ces triangles, et les angles A, D et C du triangle sont égaux aux angles de Q avec R, de P avec R, et au supplément de P avec Q. Si donc on donne trois de ces éléments, on pourra déterminer les trois autres par les formules de la trigonométrie, pourvu qfue parmi les trois données il entre au moins la grandeur d'une force. Les formules trigonométriques nous donnent :
sin (Q, R) sin (P, R) sin (P, Q)'
donc : chacune des forces est proportionnelle au sinus de Vaufjle formé par les directions des deux autres. On a aussi :
R3 zz:: p2 ^. Q2 + 2 PQ COS (P, Q),
et cette équation fournira la valeur de la résultante, quand on donnera en nombre les grandeurs des composantes et l'angle qu'elles font entre elles.
Si P = Q, on a :
R = 2 P COS î (P, Q).
DécompositioR d'une force en deux autres de directions
données. — Réciproquement, une force R étant donnée, on pourra toujours la décomposer en deux autres appliquées au même point, suivant des directions données A a;, Ay, i)ourvu qu'elles soient dans un même plan avec la force R, on aura :
R^sm (Q^) ^ R sin (P. R )
sin(P,U) ' ^ ' sin(P,Q) '
Tio 14
Si les directions données sont rectanguiaires, on a : P = Rcos(P, R), Q = Rcos(Q, R), R2 = P2-hQ«.
Chaque composante est égale à la projection de la résultante sur sa propre direction; c'est ce qu'on nomme la force estimée suivant cette direction.
18. Composition d'un nombre quelconque de forces appliquées à un môme point. — Polygone des forces. — £n
réduisant la construction à sa partie essentielle, on voit que
si l'on décrit un contour polygonal dont les côtés successifs soient parallèles aux directions des forces données et égaux aux longueurs qui représentent les intensités de ces forces, la droite qui fermera le contour représentera en grandeur et en direction la résultante cherchée. Si le
polygone se ferme de lui-même, les forces se feront équilibre,
et réciproquement.
19. Cas de trois forces. — Parallélipipède des forces. Théorème. — Si trois forces X, Y, Z, appliquées à un même point de l'espace, sont représentées par les trois lignes AB, AC, AD, et que Von construise le parallélipipède dont ces
trois lignes sont trois arêtes contiguës, la résultarite R de ces trois forces sera représentée en grandeur et en direction par la diagonale de ^3 ce parallélipipède. En effet, la résultante de A B et A C est AE, et la figure AEFD étant un parallélogramme, la
résultante de A E et AD est bien la diagonale A F du i)arallé-
lipipède.
Remarquons que tant que les trois forces X, Y, Z ne seront pas dans un même plan, elles ne pourront jamais donner une résultante nulle, à moins qu'elles ne soient nulles elles-mêmes en particulier.
20. Équilibre de troicr forces concourantes. — Les forces AB, AC, AD doivent se faire équilibre; donc AB est égal et directement opposé à la résultante de A C et AD; donc les trois forces sont dans un même plan. On devra avoir :
sin (Y, Z) sin (X, Z) sin (X, Y)
Ainsi, pour que trois forces appliquées à un même point se fassent équilibre, il faut que les ti'ois forces soient situées dans un même plan, et que chacune d'elles soit proportionnelle au sinus de l'angle compris entre les directions des deux autres.
Ces conditions sont suffisantes, pourvu qu'il soit entendu que Tune des forces tire ea dehors de l'angle fonné par les deux autres. Car si Ton se donne arbitrairement X et Y, les équations (4) donneront la force AE, diagonale du parallélogramme construit sur les. deux forces, ou son opposée AD, il faudra prendre AD, et alors l'équilibre a bien lieu.
21 . Décomposition d'une force en trois autres de directions données. — Une force quelconque R étant donnée, on pourra toujoure la décomposer en trois forces X, Y, Z, appliquées au point A et agissant suivant trois directions données Aa?, Ay, Az, pourvu qu'elles ne soient pas toutes trois comprises dans un même plan.
En effet, soit AP la ligne qui représente en grandeur et en direction la force R; menons PE parallèle à Ar, jusqu'à
la rencontre du plan rrAj/, EB parallèle à ky jusqu'à la rencontre de A^r, on formera le contour polygonal ABEP,
dont les côtés AB, BE, EP représentent les composantes cherchées ; pour les avoir en position, il suffit d'achever le parallélipipède.
Cherchons les intensités . » des composantes, dans le cas où les trois directions données sont rectangulaires.
Soient a, p, y les angles que fait la force donnée R avec les trois axes. On aura, comme AB, AG, AD sont les projections octogonales de AP sur les trois axes,
(1) X = Rcosa, Y = Rcos^, Z = Rcosy.
Ces équations font connaître immédiatement les composantes X, Y, Z, quand R, a, p, y sont connus, en joignant à ces équations la relation connue :
cos* a 4- cos* p -H ces' Y =5 1.
On aura en effet :
cos a ='
KX'4-Y* + Z«
1 COSP=r 1 COSY =
KX*-f-Y« + Z*
Les formules (4) sont générales, pourvu que, regardant comme positives les forces qui tirent le point A dans le sens des coordonnées positives, et par suite comme négatives celles qui tirent en sens contraire, on prenne pour a, p, y les angles que fait la direction de la résultante avec les parties positives des axes Ax, A?/, Az.
En effet, on voit, en se rapportant à la règle du parai-
lélipipêde que si, par Textrémité de la résultante on mène un plan pei^endiculaire sur A a;, ce plan coupera A a? en un point B qui sera Textrémité de la force X ; on aura toujours en valeur absolue X = R cos a ; il reste à montrer que cela a Ueu aussi en tenant comi)te du signe; or, si a est aigu, le point B tombe sur A^r, et X est positif ; si a est obtus, le point B tombe sur le prolongement de Arr?, et X est négatif. Les formules (1) sont donc générales, en admettant nos conventions.
22. Calcul de la résultante d'un nombre quelconque de forces appliquées à un même point. — On ramène au cas de trois forces rectangulaires la composition d'un nombre quelconque de forces appliquées à un même point A; menons par ce point trois axes rectangulaires AXy ky^ Ar; soient a, P, y; *'» &'» ï'; a'i &'> ï'--- l^s angles que font avec les axes les directions des forces AP, AP', AP'..., la force P est décomposabie en trois autres dirigées suivant Arr, A y, Ac, et égales respectivement en grandeur et en signe à P cos a, P cos P, P cos y H en est de même des autres forces. On pourra composer en une seule force X toutes les forces dirigées suivant A a;, en une seule force Y toutes les forces dirigées suivant Aj/, et en une seule force Z toutes les forces dirigées suivant Az. On aura alors les expressions suivantes :
X = P cos a + P'^cos a' + P" cos aV.. = V P cos a,
La question est donc ramenée à une question déjà résolue ; la composition de trois forces concourantes appliquées à un même point. Si on appelle R la résultante; a, 6, c les angles qu'elle fait avec les axes; on aura :
R = ^/X« + Y« -+- Z*» <'osa = -' cosfe = -' cosc=g-
f,gl«
JC
23, Ckerchons l'expression de R dans le cas des axes obliques.
Appelons :
(ir,y) = v (a?,;;) = iA (y,-) = X
et désignons encore par a, b, c les angles de R avec :
Oa?, Oj/, Oz.
En projetant successivement sur Oa?, Oy, Oz le contour OABR ou OR, on aura :
R cos a = X + Y cos V + Z cos ;x,
(1) s R cos fc = X cos V + Y -+- Z co% X,
R cos c = X cos jA -f- Ycos X -f- Z.
En projetant sur OR le contour OABR, on a :
(2) R = X cos a 4- Y cos ft + Z cos c.
En multipliant les équations (1) respectivement par X, Y', Z, ajoutant et tenant compte de (2), on a :
(3) R*=: X« + Y» + Z* + 2 XY cosv + 2 YZ cos X -f- 2 XZ cos ii.
Les équations (1) et (3) feront connaître R et a, 6, c.
On peut donner une autre forme à l'expression de R. Revenons au cas des axes rectangulaires, auquel cas cos X, cos [JL et cos V sont nuls. On déduit de (3), en tenant compte des relations :
cos' a + cos* g H- cos* Y = 1»
cos* a' -h cos' P' + cos' t' = i ,
cos a cos a' + cos ^ cos g' 4- cos V cos y' = cos (P, F),
R* = P« 4- F'* -f- F'... + 2 FF cos (F, F) + 2 FF' cos (F, F'),..,
expression qui ne dépend que des gi^ndeurs des forces et des angles qu'elles font entre elles.
24. Conditions d'équilibre de plusieurs forces concourantes. — On doit «avoir, dans le cas des axes rectangulaires :
donc :
ou bien :
(4) ]^ P cos a = 0, 2 P ^os ^ = 0, 2 P cos Y =
Ainsi la somme des projections des forces sur chacun des axes doit être nulle.
Réciproquement, si les équations (4) ont lieu, l'équilibre a lieu, car R = 0.
Lorsque les axes sont obliques, il faut encore, pour l'équilibre, que la somme algébrique des projections des forces sur les trois axes soit nulle séparément pour chacun de ces axes.
Théorème des moments.
. Définition. — Lorsque plusieurs forces sont situées dans un même plan, on appelle moment d'une force par
rapport à un point du plan, le ^^g /9 produit de cette force par la perpendiculaire abaissée du point sur la force. Ainsi le moment de la force P représentée par ^^ .^ la droite AB, relativement au point 0, est le produit :
