Notion de la résultante. — Pour découvrir la route qui

peut nous conduire aux conditions de l'équilibre, considérons un corps tenu en équilibre par des forces P, P', P'... appliquées aux points A, A', A'...

— ^ du corps; je dis que toutes ces forces, sauf une, peuvent êtpe.

remplacées par une force unique produisant exactement le même effet. Par exemple, les forces P', P', P'^, peuvent être remplacées par la force AR égale et opposée à la force A P.

En effet les forces égales et opposées A R et A P se détruisent; on peut donc regarder le corps comme n'étant plus soumis qu*à Faction des forces P', P", P"'; mais, d'un autre coté, la force P faisant équilibre à elle seule aux forces P', P' F'',., toutes ces forces se détruisent, et on peut regarder le corps comme n'étant plus soumis qu'à l'action de la force R. L'état du corps est donc identiquement le même, soit qu'on le suppose sollicité par les forces P', P', P*^..., soit qu'on le suppose sollicité uniquement par la force R égale et contraire à P,

5. Donc, puisqu'il peut arriver qu'une seule force soit capable de produire sur un corps le même effet que plusieui-s, et en tienne parfaitement lieu, notre premier soin doit être de chercher à réduire les forces appliquées au plus petit nombre possible, et surtout d'obsei'ver la loi de cette réduction. Alors les conditions d'équilibre entre toutes les forces, se ramèneront aux conditions d'équilibre entre ces forces finales, équivalentes aux premières, et deviendront plus faciles à exprimer.

6. Définition de la résultante. — Cette force, qui est capal)le de produire sur un corps le même effet que plusieurs forces combinées, et qui, à elle seule, peut en tenir parfaitement lieu, se nomme leur résultante. On sait, d'après ce qui précède, que : si plusieurs forces se font équilibre sur un corps, l'une quelconque d'entre elles est égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres.

Composantes. — Les autres forces à l'égard de la résultante se nomment les composantes. Le problème qui a pour objet de trouver la résultante de plusieurs forces se nomme : la composition des forces. Nous sommes donc amenés à J'étude de la composition des forces. Avant d'aborder cette

étude, nous démontrerons quelques lemmes dont nous ferons un usage très fréquent.

Il est évident, comme nous l'avons déjà dit, que : deux forces égales et contraires appliquées à un même point sont en équilibre.

Il est encore évident que : denx.forces, égales et contraires, appliquées aux extrémités d'une droite de longueur invariable, et finissant dans la direction de cette droite, sont en équilibre ; car il n'y a pas de raison pour que, de l'action des deux forces, il résulte un mouvement d'un côté plutôt que de l'autre.

7. Translation du point d'application. — Il est facile de conclure de là que : l'effet d'une force qui sollicite un corps

,. ne change pas si le point d'application ''8^ /de la force est transporté en un point

quelconque de sa direction, pourvu que ce nouveau point soit invariablement lié au premier. Soit en effet la force P appliquée en un point A du corps C; soit A' un point quelconque de la direction de cette force; en A' j'applique deux forces égales et contraires à P, agissant suivant la droite A A'. Les forces P' et P" se détruisent, et il en est de môme de P et P"; donc le corps sera dans le même état, soit qu'il soit sollicité par là force P ou bien par P'; la proposition est donc démontrée.

8. Remarque I. — On peut se demander si l'on obtient bien toutes les forces capal^les de produire le même effet sur le corps, en transportant ainsi la force P eyi un point quelconque de sa direction. Supposons que la force BP' produise sur le corps C un effet identique à celui de la force AP; soit BP' une force égale et contraire à BP' ; cette force BP' maintenant BP' en équilibre, devra faire aussi

STATIQUE. il

équilibre à AP; ainsi les deux forces AP et BP' devront se faire équilibre sur le corps C; si l'équilibre existe, on ne le troublera pas en rendant fixe un point I de AP; nous aurons alors le corps C mobile autour du point I, qui sera en équilibre sous Faction des forces AP et BP"; mais la force AP est détruite par le point fixe ; il ne reste plus que la force BP'; nous admettrons comme évident que, pour qu'un corps qui peut tourner librement autour d'un point fixe, et

qui est sollicité par une force unique, Ro -4 \ soit en équilibre, il faut et il suffit que

la direction de cette force passe par le point fixe. La force BP' devra donc passer par le point I, et comme ce point est un point quelconque de AP, on voit que les droites BP* et AP doivent coïncider; on voit ensuite direc- \^' tement que ces forces doivent avoir la même intensité et agir en sens contraires. Donc la force BP' n'est autre cbose que la force AP transportée en un point quelconque de sa direction.

On déduit de là cette proposition importante : Si det^ forces appliquées à un corps libre ont une résultante, cette résultante est unique. En effet, une seconde résultante, si elle existait, devrait produire le même effet que la première; donc on l'obtiendra en transportant la première en un point quelconque de sa direction; ce n'est autre chose que la première résultante.

9. Remarque II. — Revenons un moment sur la proposition admise tout à l'heure; soit le corps G mobile autour du point fixe O, et sollicité par la force P; il est évident que l'équilibre a lieu, si la direction de P passe par le point O, car on pourra la concevoir appliquée au point fixe lui-même,

et là elle ne pourra produire aucun effet, elle sera détruite ; on peut admettre que si sa direction ne passe pas par

le point fixe, elle mettra le corps en mouvement; mais on peut rendre plus sensible Tévidence de la dernière partie de cette proposition, en raisonnant comme il suit : Supposons que la force ne produise pas le mouvement, que l'équilibre ait lieu; abaissons du point la perpendiculaire OA sur la direction de la forée, et menons la droite OH perpendiculaire au plan OAP; si le corps est en équilibre, il y restera à fortiori si nous rattachons à Taxe OH, en ne lui permettant pas de pirouetter jen tous sens autour du point 0, mais seulement de tourner autour de Taxe OH; mais dès lors il est évident que la force AP va produire le mouvement, et que le point A décrira Tare de cercle AD décrit du point comme centre, avec OA comme rayon, dans le plan A OP.

10. Des forces appliquées à un même point ont toujours une résultante. — Nous avons dit que, quand plusieurs forces sont appliquées à un corps, il y a grand intérêt à les réduire au plus petit nombre possible ; mais il faut se garder de croire que tout système de forces appliquées à un corps solide admette une résultante unique. Nous allons considérer un cas où cette résultante existe toujours : c'est celui d'un nombre quelconque de forces appliquées à un même point.

Soient le^ forces P, P', P'... en nombre quelconque, situées ou non dans un même plan, et appliquées au môme point A; je dis que si elles ne se font pas équilibre, elles ont une résultante unique. En effet, si ces forces ne se font pas équilibre, elles tendront à faire mouvoir le point A, suivant une certaine direction AR; soit AS le prolongement

de AlR, il est évident qu'en appliquant au point A une force convenable S dirigée suivant AS, on l'empêchera de se

mouvoir ; le point A sera donc ^^g 6 / en équilibre sous l'influence des

forces S, P, P', P'... D'après un théorème démontré plus haut (4), les forces P, P', P'... auront une résultante A R égale et contraire à AS. Nous allons indiquer les moyens de trouver la grandeur et la direction de cette résultante; c'est à dire que nous allons faire la composition des forces appliquées à un même point.

.11. Composition des forces agissant suivant la même droite. — Il est un cas où la solution est immédiate : c'est celui où les forces agissent suivant la même droite. Plaçonsnous dans cette hypothèse, et supposons d'abord qu'il y ait seulement deux forces P et Q agissant dans le même sens ; nous admettrons comme un axiome que ces deux forces s'ajoutent, et donnent une résultante égale à leur somme P + Q. Si les deux forces agissent en sens contraire, soit P > Qj on pourra considéi'er la force P comme la résultante de deux autres de même sens P — Q et Q ; cette dernière détruira la seconde force donnée, et il ne restera plus que P — Q, qui sera la résultante. Ainsi, quand deux /brcôs inégales et de sens contraires agissent suivant la même droite, elles ont une résultante égale à leur différence, qui agit dans le sens de la plus grande. On tire de là cette proposition généi'àle : La résultante d'un nombre quelconque de forces applicft^ées au même point, suivant la même droite, est éffsl^ à l'excès de la somme des forces qui agissent dans un sens sur la somme des forces qui agissent en sens contraire, et SLgtt dans le sens de la plus grande somme.

En convenant de donner le signe -+• aux forces qui agissent dans un sens, et le signe — aux forces qui agissent en sens contraire, on peut dire encore que la résultante est égale à la somme algébrique des composantes.

Revenons au cas général de la composition d'un nombre quelconque de forces concourantes ; il est visible qu'il suffit de résoudre la question dans le cas de deux forces, car si Ton en a plus de deux, il suffira de composer les deux premières, ce qui donnera une résultante que Ton composera avec la troisième, etc.

Compotition de deux forces appliquées à un même point.

12. La résultante est dirigée dans le plan et dans Tangle des deux forces. — Soient les deux forces P et Q appliquées au point A; nous savons que ces deux forces ont une résultante; il est évident que celte résultante doit être dans le plan PAQ; car il n'y a pas de raison pour qu'elle soit située d'un coté du plan plutôt que d'un autre ; on peut voir

Fig7

.,tj ^ de plus qu'elle doit être com-

prise dans l'angle PAQ. En effet, si la force P existait seule, elle ferait mouvoir le • ])oint A suivant la droite AD; mais la force Q intervenant, tend à entraîner le point A dans la région du plan située du même côté de AP que AQ, c'est à dire dans la région MN; de même si la force Q existait seule, elle déplacerait le point A suivant la droite AE; mais la force P intervenant, tend à entraîner le mobile dans la région du plan située du même côté de AQ que AP, c'est à dire dans la région II K; ces deux régions ont une partie

commune KL dans laquelle se mouvra le point A; ainsi, ce point se mouvra dans l'angle PAQ; donc, lu résultante est située dans cet angle. Mais quelle sera, dans l'angle, la direction de la résultante? On ne Taperçoit immédiatement que si les deux forces sont égales.

Car, alors, il n'y a pas de raison pour que la résultante s'incline plus sur l'une des forces que sur l'autre, elle est donc dirigée suivant la bissectrice de l'angle PAQ. Pour résoudre la question générale, nous démontrerons d'abord le lemme suivant :

13. Lemme. — Soit un parallélogramme ABCD, que nous supposerons solide, de manière que les longueurs de ses cotés

p ^et ses angles soient invariables ;

nous supposons les côtés AB et AC commensurables ; nous appliquons au sommet A deux forces 1? et Q dirigées respectivement suivant AB et ACy et représentées pour leurs intensUésparAB et AC; nous appliquons de même au sommet D deux forces égales, respectivement aux précédentes, et diri-

gées suivant DC ef DB; j> dis que ce parallélogramme sera en équilibre sous Vaction des quatre forces.

Si le parallélogramme est un losange, AB = AC, P = Q ;

la diagonale AD est la bissectrice des angles A et D; la

résultante de deux forces ap[)liquées en A est dirigée suivant

AD; la résultante des deux forces appliquées en D est

dirigée suivant DA; elle est évidemment égale à la résultante

précédente; elle agit suivant la même droite et en sens

contraire; donc l'équilibre a lieu et le théorème est démontré

dans ce cas particulier.

Revenons au cas général, et supposons que A B et A G soient dans le rapport des entiers 3 et 2 par exemple; divi-

sons AB en trois parties égales, et par les points de division, menons des parallèles à AC. Divisons de même A G en deux

parties égales, et par le

A ^^6 ^ ■ B point de division, menons

une parallèle à A B ; nous formerons ainsi des losanges à chacun desquels nous appliquerons quati^e forces, comme tout à Fheure. Chacun de ces losanges sera en équilibre; il en sera de même de leur ensemble; les forces intermédiaires se détruisent deux à deux, et il reste les forces AB,AG, DGetDB qui se font équilibre; ce qu'il fallait démontrer.

Ainsi, le parallélogramme ABCD est bien en équilibre sous rinfluence des quatre forces qui lui sont appliquées; les deux forces P et Q appliquées en A ont une résultante R appliquée au point A ; c'est celle que nous cherchons ; les deux autres forces appliquées en D ont une résultante R' appliquée à ce point D; le parallélogramme est donc en équilibre sous Taclion des forces R et R'; les deux forces doivent agir suivant la même droite ; donc la résultante R passe au point D; elle est donc dirigée suivant AD; ainsi : La résulta7itc de deux forces P et Q api^liquécs au point A est dirigée suivant la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces.

Il est vrai que ce théorème n'est démontré que dans le cas où les deux forces P et Q sont commensurables. Nous allons l'étendre au cas où les forces P et Q sont incommensurables.

14. Lemme. — Je suppose quon ait composé les forces AP et AQ, ce qui a donné l'a résultante AR; je dis que si Von augmente la force P de P', là résultante va se rapprocher

de AP. Eu effet, il faudra composer AR avec AP'. On

voit de même que si l'on dimi- ' v -p nue AP de P", la résultante se

rapprochera de AQ.

Cela posé, partageons Q en n parties égales, n étant très grand ; posons :

Q = np, on aui'a :

Fié 10

^jC

Kg 11

wip < p < {m 4- 1) p, m étant aussi très grand.

Soit A B' = m;;, AB' = (w -f- 1) p,

on aura par le théorème

B^__B B ' précédent, AD' comme résultante de Q = np et mp ; AD' comme résultante de Q = np et (m + 4) p.

P > mp^ donc la résultante de P et est entre AD' et AB; P < (m + 1) p; donc la résultante de P et Q est entre AD' et AC; elle tombe donc dans Tangle D'AD';or:

B'B' = D'D' = (w -f- 1) p — wp = p,

D'D' peut titre rendu aussi petit que Ton voudra, en augmentant n ; donc la résultante sera comprise entre deux droites AD' et AD' qui se rapprochent indéfiniment de AD ; donc la résultante est dirigée suivant AD, diagonale du parallélogramme construit sur P et Q. '

15. Je dis maintenant que : La résultante est représentée aussi en grandeur par la diagonale du paralléWgramme construit sur les forces.

Despeyrous. — Mécanique. 2

18 COURS DE MÉCANIOVE.

En effet, prolongeons AD en AE et portons sur celte droite une longueui' éfrule à la grandeur inconnue de la

résultante: les trois forces AB, AC, AE vont se faire équilibre sur le point A; donc AB sera égal et opposé à la résultante de AE et AG; or, si nous achevons le parallélogramme A CEE, la résultante de AE et AC sera dirigée suivant la diagonale AF; donc A F est le prolongement de AR et la figure A DGF est aussi un parallélogramme; on conclut de ce qui précède :

EFt=AG; AP = CD; AFE = ACD.

Donc les triangles AEF et ADC sont égaux, et AE = AD ; la résultante est donc bien représentée par AD. Nous pouvons donc énoncer le théorème complet du parallélogramme des forces :

La résultante de deux forces quelconques appliquées à un même point est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux lignes qui représentent ces forces en grandeur et en direction.

16. Remarque. — On voit que deux forces qui agissent sur un mome point ne peuvent avoib une résultante nulle ou se faire équilibre que si elles sont égales ou directement opposées, car, s'il n en est pas ainsi, la diagonale du parallélogramme construit sur ces forces ne pourra être nulle.