VV'X
m dr.
en désignant par l'angle polaire, on aura :
ds = ydr* H- r' dO' = — ^;^ — - - -
On en tire :
(12) rfe = ± -
.rV^^''*('-'-X'«''"'^
/•(r) dr
Le problème est ainsi ramené aux quadratures. La
dr formule (41) montre que, au point A ou s = 0, y est nul,
c'est à dire que le rayon vecteur A est normal à la courbe, ou que le point A est un sommet; cela suppose toutefois
que f(r) n'est pas nul en ce point; c'est à dire que /"(a) ^ 0. Lorsque la force est proportionnelle à la distance, on a :
f{r) = Kr, f{r)dr = K^'
1 formule (i2) devient :
(.3) rfe=±t'VbL___i
On peut intégrer. Nous nous bornerons ici à indiquer Ips résultats du calcul :
i" La force est répulsive, K<0; on trouve que la courbe est une épicycloïde ;
2" La force étant attracUve, K > 0, si l'on a en même
temps — j— < 1, la courbe est encore une épicycloïde;
3"* K > et —-r~ > ■! ; la courbe est une spirale qui
s'éloigne indéiiniment du centre fixe, et qui jouit de cette propriété remarquable d'èti-e semblable à la développée de sa développée (').
Dé Ib Brachiitockron*.
71. C'est encore la cycloïde que l'on trouve, quand on cherche la brachistochronc dans le vide, c'est à dire la courbe AMB qu'un point matériel doit suivre pour aller dans le temps le plus coui't, sans vitesse initiale, du point donné A au point B également donné.
Rapportons la courbe que nous cherchons à trois axes coordonnés rectangulaires, passant au point A, l'axe des x étant vertical et dirigé vers le bas. Posons AM = s et désignons par a l'a:
du point B. Nous aurons :
r — -7-: ti' — 2fli, rf/' ^ *
et par conséquent :
On déduit de œUe dernière équation :
j£ temps T que le mobile emploiem pour aller de A en B sera donc donné par l'équation :
ou, en faisant :
(3) T \/ig =£
Vs
T devant être minimum, la variation de l'intéfirale contenue dans le deuxième membre de (3) doit être nulle. On aura donc ;
- rfj; = 0,
nous ne ferons pas varier x, nous aurons donc :
-'• Vx
or, de (2) on tire :
^ dy dp dz dz dy S.rfy dz l.dz
dx ' dx rf» ' dx ïïx (Ix dx dx
i dy d.Zy 1 dt d.ls
' ~ ndx dx u dx dx
:î28 COURS DE MÉCANIQUE.
(5) deviendra donc :
Or, on a en intégrant par parties, et remarquant que ly et î sont nuls aux points A et B :
iy eilz étant des fonctions arbitraires de x, cela exige que Ton ait séparément :
\n Vx ^^/ . Vu Ko? rf^/
d^ ^ dx '
On en tire en désignant par G et G', deux constantes arbitcaires :
1 rfy c- * ''-
d'où :
c '^^ C -rf.r dx '
C'y — C:: = const.
La constante doit être nulle puisque la courbe doit passer par le point A. Ainsi la courbe est contenue tout entière dans le plan vertical mené par les points A et B; prenons ce
plan vertical pour plan des xy^ posons C = — r: , et (6)
Va
deviendra :
V/'O-aS)
d'où :
dx''
C'est l'équation (lifférentielle d'une cycloïde, dont la base p est l'horizontale Aj/, qui passe par
y le point de départ A du mobile, et rMj.|53 dont le cercle générateur a pour diamètre a.
On a en eiîet poui- cette dernière cycloïde :
V^-y^Tè,-
^ = .MCP = ïî=^^ =
La dérivée de y par rapport à x est donc la même dans les
deux courbes. Pour x^ 0, y ^ dans les deux courbes,
donc elles sont identiques.
Pour trouvei- a, on i-emarquera que toutes les cycloïdes
sont semblables. On fera rouler sur Ay un cercle quelconque de diamètre a', ce qui donnera la cycloïde AH'; soient E' son sommet, A F' son abscisse, E le sommet de la cycloïde chercliée ; ou devra avoir :
donc :
