AB
On prendra donc le point B' où AB rencontre la cycloïde auxiliaire; on joindra B' E' ; on mènera BE parallèle à B' E'. Le point E sera le sommet de la cycloïde cherchée; EF sera le diamètre de son cercle générateur.
On peut également déterminer a par le calcul. Désignons par a et 3 les coordonnées du point B par rapport aux axes rectangulaires Ay, Ax (fig. i53)^ nous aurons pour les équations de la brachistochrone en employant la variable auxiliaire 9 ;
a? = fl (1 ■— ces 5); y = a (ç — sîn 9).
Par conséquent :
a = fl (1 — cos 9) ; p = fl (9 — sin ç ),
d'où, en éliminant ç entre ces deux équations, on trouve pour déterminer a T équation transcendante :
P == a arc ces ( 1 — - j — V^a% — a'.
72. Trouver la brachistochrone dans un plan, dans le cns général où il existe une fonction des forces.
Soient v la vitesse, mX et mY les composantes de la force extérieure appliquée au mobile, x^ et x^ les ab.«;cisses des deux points extrêmes donnés A et B; on aura :
ds ■ ^ ds dx Vi 4- y *
r = — ^ dt= - = ^ 9
dt V V
et puisqu'il y a une fonction des forces :
La variation de cette intégrale doit être nulle, on a donc l'équation :
Jx^
^LLJLl^ do? = 0.
Faisons varier seulement y, nous aurons :
(2) pîîf 5.1/1^"^"^+ pdjpj/rry^s.- = o.
Or, on a :
en intégrant par parties, il vient :
or, ?j/ est nul aux deux limites; on aura donc :
^ •,'a-, V " Jx. dX
On a, d'autre part :
V dx dy ou bien, comme on ne fait pas varier x :
* * j ^' ^ 1 dt^ ^
V dy ^ v^ dy ^'
et en tenant compte de (1) :
(4) / rfa?Kl + »'*3-= — / Y . ^ By;
en tenant cbrapte de (3) et (4), (2) devient :
S 2/ étant une fonction arbitraire de a?, cette équation donne
(5) d • 4- — ^~ da? = 0.
En effectuant les calculs, et remarquant que à\) doit être
remplacé par a' ^^ "^ zr ^V' ^^y ^^ ayant égard à (1),
1 dx
par - (Xdj? 4- Ydy) = — (X + Yy'), on trouve que Téqua-
tion (5) devient :
~ Kl + y'* -H ?î ; -~— (X + Yy') = 0,
^* «^ (l-+-y")ï r'Kl + y"'
DY.NAMIQUE.
OU, après réduction :
On peut encore écrire, eu remplaçant w' par sa valeur :
Y - Xy' +
rj; + Y (/y) — 0,
OÙ ^intégrale i (Xrfa; + Ydj/) désigne une fonction connue
d'x et d'y.
Cette é(iualion différentielle du second ordre repi-ésente la bracliistoclirone; on déterminera les deux constantes introduites par l'intégi-alion, en écrivant que la courbe passe par les deux points donnés A et B, (x„ y,), (x„ y,).
On peut donner une intei-prétation simple de l'équation (G) ; désignons par p le rayon de courbure de la brachistochrone au point x, y; par « l'angle que la tangente en ce point fait avec Ox, et supposons y' > 0; alors :
KigbT^
ji + y-'y.
l'équation (0) pouin
= X sin ï — Y cos ï.
Soient P la résultante de X et Y, a l'angle que fait cette force avec Ox\ on aura :
- = Psin(i — a).
Soit C le centre de courbure, MQ la projection de P sui' la
iiormule ; rëniiation précédente montre que cette projection
est égale à — ' et qu'elle est dirigée dans le sens opposé à M C. P
Donc :
Dana les hrachislochrones planes, la composante narmale ^de la force extérieure est égale en grandeur et en signe à la force centrifuge; ou bien encore :
Dans les brachistochrones planes, la pression exercée par le mobile sur la courbe est double de la composante normale de la force P.
C'est cette propriété caractéristique de la brachistochrone qu'on devra employer dans tous les cas, pour trouver rapidement son équation.
73. Application. — Trouver la brachistochrone dans le cas oïl la force P est dirigée constamment vers un centre fixe, et ne dépend^ pour son intensité, que de la distance r du mobile à ce centre.
Désignons par p la peipendicu- Y J56 laire OH abaissée de Torigine sur la tangente en M. Posons :
Soit MQ la composante normale de la force MP, nous aurons :
MQ = - = /(r)8inPMH, P
p = r sin PMH,
et par conséquent :
Or :
— rdr
e' = if 'm dr, 011 aum donc :
d'où :
d. log. p* = d. log. / /"(r) rfr.
Eli désignant pur j/ une constante ui'bitraire, il viendi'a :
(2) ^' = ]^Jj^'^^'^
or on u : »
sin PMH = -r-« en désignant Tangle MOj? par 6; (1) donnera donc :
(2) donnera ensuite :
Kr'
d'où :
Kr» — / /"(r) rfr
\rd6/ ~
On en déduit :
(3) rfO = - -
rfr / j.^<'->'"-
^/ Kr*-f'f{r)dr
Au point A, r = a; (2) donne jp = ; donc la courbe est tangente en A au rayon OA. L'équation (3) montre que le problème est ramené aux quadratures. Désignons AOB par 9 et OB par &, on aura, pour déterminer la constante K, l'équation :
*^^ *" l/ Kr'' — r fir) dr
Exemple.
fir) = 'inr,
j /■(»•) dr = H (»' — r'),
de
(Ze
— dr . / " g' — r'
On peut intégrer et on trouve que la courbe est une épicycloïde.
