A OA

ment. Alors — -2> ..., — -^ auront pour limite Tunité. Les différentes

Wf '0 A' forces —î-— ^ 5 que l'on peut supposer ' transportées parallèlement à

iBlles-mêmes de manière que leurs points d'application coïncident avec les points A;, finiront par devenir parallèles et auront pour grandeurs les valeurs absolues de m^y m,, ..., nip, deux forces correspondantes à des coefficients de signes contraires ayant des sens opposés. Quant à la

résultante qui passe par C et a pour valeur > on peut transporter

son point d'application en C, et elle aura pour valeur limite M. Ainsi la résultante des forces parallèles passera par un point fixe et sera égale à leur somme algébrique. On reconnaît la proposition fondamentale] de la^théorie des forces parallèles ; le point est le centre des forces parallèles considérées, ou, si l'on veut, le centre de gravité des masses m,- appliquées aux points A/, et l'on voit que la notion et les propriétés de ce centre se déduisent comme cas particuliers du théorème I.

Ces remarques préliminaires étant faites, nous obtiendrons sans peine le théorème de Lagrange et une proposition nouvelle. Nous avons

appelé OR la résultante des forces fft.OA,-. En employant la formule connue qui donne la résultante en fonction des composantes, nous aurons :

(2) OR = Sw-OAi — 2Zmimk OA»- OAf cos A.OAi.

Or, dans le triangle A,0 Ajt, on a :

20 A, OAi. cos A.OAi: = OA. -4- OAt —AiAt .

Servons-nous de cette relation pour éliminer les cosinus; la formule (2) deviendra :

(3) , OR = MSw; OA. — SSî/î.Wa a, Ai. .

Si Ton remplace OR par M. OC, on aura précisément la proposition de Lagrange.

Sans insister sur cette proposition bien connue, je vais examiner spécialement le cas où Ton a M = 0. Alors nous savons que la résultante OR est constante en grandeur et en direction, et, en eifet, la formule (3) nous donne pour cette résultante la valeur :

(4) OR =: — 22 ntinii: A.Ajt ,

indépendante de la position du point 0.

Supposons maintenant que, considérant un certain nombre des points A,-, on les supprime et on les remplace par un seul point, leur centré de gravité, affecté d'une masse égale à la somme de leurs masses, je dis que la résultante ne sera pas changée. En effet, cela revient à

supprimer, par exemple, deux forces m^OA^, m^OA^j et à ajouter la force (w, •+• m^) O A' dirigée vers le centre de gravité A' des points A„ A,. Or, diaprés le théorème I, cette dernière force est la résultante des deux premières. L^opération indiquée a donc pour effet de substituer à deux ou à plusieurs composantes leur résultante partielle, ce qui ne changera pas la résultante totale.

Donc, dans l'équation (4), le second membre conservera sa valeur quand on substituera aux points Aj les nouveaux pointa, en nombre

moindre, que Ton aura déduits des premiers par des compositions partielles. Nous sommes ainsi conduits à la proposition suivante :

THéoRKME IL — Considérons un système depoinU dont la masse totaU est nulle. Remplaçons un ou plusieurs groupes de ces points par leurs centres de gravité, en aJTectant à ces centres la masse totale des points qu'ils remplacent. Pour un quelconque des systèmes de points ainsi obtenus p la somme

Z!^ mimi; A;Âjt

conservera une valeur constante, négative ou nulle.

Il serait facile de prouver que ce théorème peut donner celui de Lagrange; je me contenterai de faire remarquer que Ton peut toujours réduire à deux le nombre total des points du système, par exemple, en prenant le centre de gravité de tous les points à masse positive d'une part, et, d'autre part, celui des points à masse négative. Soient B, B' les deux points ainsi obtenus de masses jjl, — (a, La somme précédente sera réduite à un seul terme :

— j/.'.BB'*,

ce qui permettra de la construire géométriquement. Du reste, les points B, B' donnent aussi la direction de la résultante OR définie dans le théorème I ; car, si le point vient en B' , cette résultante se

réduit à la seule composante [lB' B, et, comme elle est constante en grandeur et en direction, elle sera toujours parallèle à BB' et égale

à|jL.B'^.

Le théorème II peut conduire à de nombreuses propositions de pplygonométrie. J'en indiquerai une seule application.

Soit âBOD un quadrilatère, et soient placées les masses 1, •— 1, I, — 1 aux sommets A, B, C, D. Si nous appelons I, K les milieux des diagonales BD, AO, on aura :

BÎ3' + AC*— . Ib*— BC*— Cd'— DÂ*= — 4 Îk' .